Generalized perfect sets (Q1840269)

In einem metrischen Raum \(C\) sei eine beliebige Klasse \(K\) abgeschlossener Mengen gegeben. Unter der \(K\)-Derivierten \(K(A)\) einer Menge \(A\) versteht Verf. die Menge aller Punkte \(x\), deren jede Umgebung eine Teilmenge von \(A\) enthält, welche in keiner \(K\)-Menge liegt [Verf., Am. J. Math. 54, 169--175 (1932; Zbl 0003.32902)]. Diese Deriviertenbildung läßt sich in üblicher Weise bis ins Transfinite iterieren. Eine Menge \(A\) nennt Verf. \(K\)-perfekt, wenn \(K(A) = A\), ist, und beweist: Jede abgeschlossene Menge \(A\) ist Summe einer \(K\)-perfekten Menge und von abzählbar vielen Mengen, welche Durchschnitte von \(A\) mit \(K\)-Mengen sind; eine in sich kompakte Menge \(A\) ist genau dann in der Summe von abzählbar vielen \(K\)-Mengen enthalten, wenn \(A\) keine \(K\)-perfekte Teilmenge enthält. Man erhält die üblichen Begriffe und bekannte Sätze, wenn \(K\) das System aller einpunktigen Mengen von \(C\) ist. Sind \(K_1\) und \(K_2\) zwei Systeme abgeschlossener Mengen und enthält keine \(K_1\)-Menge eine \(K_2\)-perfekte Teilmenge, so ist jede \(K_2\)-perfekte Menge auch \(K_1\)-perfekt. Zum Schluß zeigt Verf., daß die verallgemeinerten Derivierten von \textit{W. Hurewicz} [Fundam. Math. 23, 5--624 (1934; Zbl 0010.04001)] mit den seinen äquivalent sind.