A determination of all cyclotomic quintic fields (Q1840414)

Der Verf. stellt sich die Aufgabe, alle zyklischen Gleichungen fünften Grades explizit aufzustellen. Bekanntlich ist ein durch Wurzeln jeder solchen Gleichung gebildeter Körper Unterkörper des \(m\)-ten Kreiskörpers, \(m = q_1 q_2 \ldots q_\mu\), wobei \(q_i\) entweder 25 oder eine Primzahl vom Typ \(5h+1\) (das sind die kritischen Primzahlen unseres Körpers) ist. Alle verschiedenen Unterkörper 5-ten Grades dieses Kreiskörpers entsprechen den Untergruppen seiner (Abelschen) Galoisschen Gruppe vom Index 5. Ist \(\eta\) eine einer solchen Untergruppe entsprechende Gaußsche Periode und setzt man \(\xi = 5\eta\mp 1\) bei \(m\not\equiv 0\pmod{25}\) und geradem (bzw. ungeradem) \(m\) und \(\xi = 5\eta\) bei \(m\equiv 0\pmod{25}\), so ist \(\xi\) Wurzel der Gleichung \[ t^5 - c_2t^3 - c_3t^2 - c_4 t - c_5= 0, \] wobei \(c_2=10m\), \(c_3 = 5xm\), \(c_4= 5\{\tfrac 14(x^2-125w^2) - m\}m\), \(c_5=\{\tfrac 18 (x^3 - 625wyz) - xm\}m\) ist, während \((x, y, z, w)\) eine Lösung des Diophantischen Systems \[ x^2 +25 y^2 +25z^2 +125w^2 = 16,\quad y^2 +yz - z^2 = xw \] bilden.