On the classification of finite nearfields (Q1841847)

Mit Hilfe eines Resultats über modulare Darstellungen von R. Brauer 1941 und eigenen Ergebnissen zeigt der Autor, daß jede Untergruppe \(G\) der linearen Gruppe \(\text{GL}(V, K)\) eines Vektorraums \(V\) der endlichen Dimension \(n > 2\) über einem Primkörper \(K\) mit Primzahlcharakteristik \(p\), die auf \(V\setminus\{0\}\) transitiv operiert und deren Ordnung nicht durch \(p\) teilbar ist, im Fall \((p, n)\neq (2, 3), (2, 4), (2, 6), (2, 8), (2, 10), (2, 12), (2, 20), (3, 4), (3, 6)\) einen irreduziblen Normalteiler von Primzahlordnung besitzt. Dann wird begründet, daß auch in den aufgezählten Ausnahmefällen abelsche, irreduzible Normalteiler von \(G\) existieren, sofern \(G\) scharf transitiv operiert. Hieraus folgt mit bekannten Schlüssen, daß jeder endliche Fastkörper, der über seinem Primkörper eine Dimension \(n > 2\) hat, notwendig regular (Dicksonsch) ist. Damit ist die von H. Zassenhaus 1936 stammende Klassifikation aller endlichen Fastkörper mit anderen Methoden im wesentlichen auf den Fall \(n = 2\) zurückgefuhrt; und für dessen Behandlung kann die Beschreibung aller Untergruppen von \(\text{PSL}(2,p)\) durch L. E. Dickson herangezogen werden.