On weakly arithmetic progressions (Q1842167)

In Fortführung früherer Untersuchungen des Verf. [Discrete Math. 89, 105-107 (1991; Zbl 0745.11011)]\ wird zunächst folgende Definition gegeben: Sei \(L\in \mathbb{N}\). Eine Folge \(a_1< \dots< a_L\) reeller Zahlen heißt eine schwach arithmetische Progression der Länge \(L\), wenn es reelle Zahlen \(x_0< \dots< x_L\) gibt, so daß alle Differenzen \(x_{i+1}- x_i\) \((i=1, \dots, L-1)\) gleich sind (also \(x_0, \dots, x_L\) bilden eine arithmetische Progression) und \(a_i\in [x_{i-1}, x_i)\) gilt für \(i=1, \dots, L\). Als ein Ergebnis der Arbeit sei genannt Theorem 1: Seien \(L,n\in \mathbb{N}\) mit \(5\leq L< n\) und \(c:= 1/2- 1/(L-2)\). Ferner sei \(k\) die kleinste ganze Zahl mit \(n\cdot c^k\leq L-1\). Dann gibt es eine Teilmenge \(M\subset [0,n)\cap \mathbb{N}_0\) mit wenigstens \(\lfloor n\cdot c^k \rfloor 2^k\) Elementen, die keine schwach arithmetische Progression der Länge \(L\) enthält. Die Beweise verlaufen elementar.