Die Berechnung der dritten Einheitswurzeln in Restklassenkörpern (Q1845902)

Es wird zunächst bewiesen, daß eine Primzahl \(p\equiv 1\pmod 3\) sich eindeutig als \(p=\alpha^2 + \alpha\beta+\beta^2\) mit \(\alpha>\beta>0\) darstellen läßt. Zur Berechnung der Werte \(\alpha\) und \(\beta\) wird ein Verfahren angegeben. Dann benutzt der Autor die Werte \(\alpha\) und \(\beta\), um mit einfachen Kongruenzen Paare \(\alpha_1, \beta_1\) bzw. \(\alpha_2, \beta_2\) zu bestimmen. Die Ausdrücke \(\alpha\alpha_1+\alpha_1\beta +\beta\beta_1\), und \(\alpha\alpha_2+\alpha\beta_2 +\beta\beta_2\) haben nun die Eigenschaft, daß ihre dritte Potenz \(\equiv 1\pmod p\) ist. Sie sind die nichttrivialen dritten Einheitswurzeln des Restklassenkörpers \(\mathbb Z_p\). Alle Rechnungen sind sehr elementar und lassen sich in wenigen Schritten praktisch ausführen.