Ruled surfaces treated in terms of relative geometry (Q1875915)

Im Euklidischen Raum \(\mathbb{R}^3\) sei \(\Phi\) eine \(C^3\)-Regelfläche ohne Torsalerzeugenden, also mit nirgends verschwindender Gauss-Krümmung \(K\). \(\Phi\) sei nach Wahl einer Zahl \(a\in\mathbb{R}\) relativ-normalisiert mittels jenes Normalenvektorfeldes \(^{(a)}y\), das durch die Stützfunktion (= Skalarprodukt von \(^{(a)}y\) mit dem Euklidischen Normaleneinheitsvektor von \(\Phi\)) \(| K|^a\) bestimmt ist. Hierin sind Euklidische \((a= 0)\) und aquiaffine \((a= 1/4)\) Normalisierung sowie die II-Normalisierung \((a= 1/2)\) als bekannte Spezialfälle enthalten. In der Arbeit werden alle (torsalerzeugendenfreien) Regelflächen bestimmt, auf denen entweder die innere Krümmung \(^{(a)}S\) der durch \(^{(a)}y\) in \(\Phi\) induzierten relativen Metrik (Satz 1) oder die zugehörige mittlere Relativkrümmung \(^{(a)}H\) von \(\Phi\) (Satz 2) oder eine nichttriviale Linearkombination \(\lambda\cdot^{(a)}S+ \mu\cdot^{(a)}H\) \((\lambda,\mu\in\mathbb{R}\setminus\{0\})\) dieser beiden Krümmungen jeweils längs jeder Erzeugenden von \(\Phi\) konstant ist (Satz 3). Als ausgezeichnete Regelflächen in diesem Sinn treten unter anderem auf: Gerades Konoid, Wendelfläche, konstant gedrallte konoidale Regelfläche. Beispielsweise gilt: Die einzigen relativen Minimalregelflächen bezüglich \(^{(a)}y\) \((a\in\mathbb{R}\setminus\{1/4\})\) sind für \(a= -1/4\) die geraden Konoide und für \(a\neq- 1/4\) die Regelflächen in einer Wendelfläche (Korollar zu Satz 2); hierin sind für \(a= 0\) Ergebnisse von \textit{E. Catalan} [Sur les surfaces réglées dont l'aire est un minimum, J. Math. Pure Appl. 7, 203--211 (1842)] bzw. von \textit{F. Manhart} [Zur relativen Differentialgeometrie der Hyperflächen (Technische Universität Wien) (1982; Zbl 0536.53017)] enthalten. Ferner enthält Satz 3 für \(a= 0\) ein Resultat von \textit{D. E. Blair} and \textit{Th. Koufogiorgos} [Ruled surfaces with vanishing second Gaussian curvature, Monatsh. Math. 113, No. 3, 177--181 (1992; Zbl 0765.53003)].