Honda sequences (Q1898767)

Selon L. van Hamme, une suite d'entiers \((a_n)_{n\geq 1}\subset \mathbb{Z}\) est une \(p\)-\(F\)-suite si, pour une nombre premier \(p\) donné, les congruences suivantes sont vérifiées \[ a_{np} \equiv a_n \bmod np\mathbb{Z}_p \qquad (n\in \mathbb{N}), \] (ici \(\mathbb{Z}_p\) désigne l'anneau des entiers \(p\)-adiques). Dans cet articles, nous généralisons cette notion à des suites polynomiales. On dit ainsi qu'une suite de polynômes \((H_n (x_1, \dots, x_n) )_{n\geq 1}\subset \mathbb{Z}_p [x_1, \dots, x_n]\) est une suite de Honda si, pour une nombre premier \(p\) donné, les congruences suivantes sont vérifiées \[ H_{np} (x_1, \dots, x_n) \equiv H_n (x^p_1, \dots, x^p_n) \bmod np \mathbb{Z}_p [x_1, \dots, x_n ]\qquad (n\in \mathbb{N}). \] Dans cet article, nous montrons le lien entre suites de Honda et \(p\)-\(F\)-suites, nous présentons plusieurs exemples de suites de Honda (polynômes d'Euler, Legendre, Tchebychev, Lucas, etc. \dots) et établissons certains critères pour qu'une suite polynômiale soit une suite de Honda. Une conjecture est livrée à la perspicacité du lecteur.