Groups with directly decomposable centralizer lattice (Q1898862)

Der Zentralisatorverband \({\mathfrak C}(G)\) einer Gruppe \(G\) ist die Menge der Zentralisatoren von Untergruppen von \(G\) zusammen mit der mengentheoretischen Inklusion als Relation. In der vorliegenden Arbeit wird gezeigt, daß genau dann \({\mathfrak C}(G)\) das direkte Produkt zweier Verbände \(L_1\) und \(L_2\) ist, wenn \(G\) Normalteiler \(H\) und \(K\) besitzt, so daß \([H,K]=1\), \(\text{Com }H\cap\text{Com }K=1\), \({\mathfrak C}(HK)\simeq{\mathfrak C}(G)\), \({\mathfrak C}(H)\simeq L_1\) und \({\mathfrak C}(K)\simeq L_2\) ist; hierbei ist \(\text{Com }X\) die Menge der Kommutatoren von Elementen der Gruppe \(X\). Mit Hilfe geeigneter direkter Produkte mit vereinigten Faktorgruppen wird ferner gezeigt, daß in der obigen Situation HK ein echter Normalteiler von \(G\) sein kann und daß sogar jede endliche abelsche Gruppe als Faktorgruppe \(G/HK\) auftritt. Ob \(G/HK\) auch nichtabelsch sein kann, bleibt offen.