Additive properties of sequences of multiplicatively perturbed square values (Q1900880)

Eine Menge \(A\subseteq \mathbb{N}_0\) heißt asymptotische Basis (der Ordnung \(r\)), wenn jede genügend große Zahl aus \(\mathbb{N}\) Summe von (höchstens \(r\)) Summanden aus \(A\) ist. Die eingeschränkte Ordnung \(\text{ord}_R (A)\) einer asymptotischen Basis \(A\) ist die kleinste Zahl \(k\) (wenn sie existiert), so daß jede genügend große Zahl Summe von höchstens \(k\) verschiedenen Summanden aus \(A\) ist. Ferner bedeuten \(Q_\alpha: \{\lfloor \alpha n^2\rfloor \mid \alpha\in \mathbb{R}\); \(\alpha>0\); \(n\in \mathbb{N}\}\) und \(Q^r_{a/b}:= \{\lfloor a(bk+ r)^2/b \rfloor\mid 0\leq r< b\); \(k\in \mathbb{N}\}\). Die Hauptresultate der Arbeit lauten: Theorem 1. Sei \(\alpha>0\), \(\alpha\not\in \mathbb{N}\). (1) Ist \(\alpha\) von der Form \(2k+1/2\) oder \(2k+ 2/3\) \((k\in \mathbb{N})\), so ist jedes Element von \(Q_\alpha\) gerade; andernfalls enthällt \(Q_\alpha\) ungerade Elemente. (2) Ist \(\alpha\) von der Form \(3k+ 3/4\) \((k\in \mathbb{N})\), dann ist jedes Element von \(Q_\alpha\) durch 3 teilbar; andernfalls gibt es ein \(x\in Q_\alpha\) mit \(3\nmid x\). Theorem 2. Sei \(H:= (\mathbb{N}\setminus \{1\})\cup \{(4c+ 1)/2, (6c+ 2)/2, (12c+ 3)/4\mid c\in \mathbb{N}\}\). Dann ist \(Q_\alpha\) asymptotische Basis genau dann, wenn \(\alpha\not\in H\). Theorem 3. Sei \(a/b>0\), \(b>1\) und \((a, b)=1\). Dann ist \(\text{ord}_R (Q_{a/b})\geq (\log_2 a-1)/ \log_2 b\); andererseits gibt es unendlich viele \(a\) und \(b\) mit \(\text{ord}_R (Q_{a/b})\leq 3\log_2 a+10\).