Central limit theorem for arbitrarily weighted summands in Banach spaces (Q1901965)

Les v.a. \(Y_i \in B\), espace de Banach, ont même loi. On les pondère par les \(\Phi^n_i\) réelles: \(Z^n_i = Y_i \Phi^n_i\) et suppose les \(Y_i\) comme les \(Z^n_i\), \(i \leq n\) pour chaque \(n\), indépendantes. On suppose \[ \sum^n_{i = 1} (E |\Phi^n_i|^{2p})^{1/p} = C_\Phi < \infty. \tag{*} \] I. Alors (Théorème 1) \(S_n = \sum^n_1 Z^n_i\) converge faiblement dans \(B\), vers \(\gamma_Z\) gaussienne, de f.c. \(\widehat {\gamma}_Z (x') = e^{-C(x')/2}\), \(x' \in B'\) dual de \(B\), ssi \(\sum^n_1 E |x'(Z^n_i)|^2 @>>n\to\infty> C(x')\), sous l'une ou l'autre des conditions \((\text{A}_1)\) \(B\) est de type 2 et \(E |Y|^{2q} < \infty\), \(q > 1\); \((\text{A}_2)\) la semi norme \(|x'|_{2q, Y} = |x' (Y) |_{2q}\) esquisse par l'équicontinuité des f.c. \(\widehat \mu_\alpha\) d'une famille de lois dans \(B\), leur caractère tendu. Notons que la symétrie des lois des \(Z^n_i\), utilisée sous \(A_1\), ne nous paraît pas clairement postulée. II. Pour \(q = 1\) et les \(Y_i\) indépendantes des \(\Phi_i^n\), le Théorème 2 remplace (*) par deux conditions nécessaires et suffisantes, pour que \(S_n @>\text{loi}>> \gamma_Y\). Une \(3^e\) éventualité, \(\text{A}_3\), est: \(Y\) est gaussienne, et pour les deux Théorèmes il s'agit essentiellement de prouver le caractère tendu des lois des \(S_n\). Mais la condition \(\text{A}_2\) (ici \(q = 1\)), assurée dans tout \(B\) de cotype 2, pour toute \(Y\) prégaussienne, est affaiblie si on suppose seulement que \(Y\) elle même vérifie le Théorème 2 pour \(\Phi^n_i = 1/\sqrt{n}\) (on ècrit \(Y \in \text{TLC}\)). L'A. prouve qu'il existe des \(Y\) vérifiant TLC, et des \(\sum^n_1 \alpha^n_i Y_i\) (avec \(\sum^n_1 |\alpha^n_i|^2 \to 1\), \(\alpha^n_i\) uniformément petits) non bornées dans \(L^0(B)\). Il s'appuie sur l'exemple de \({1\over \sqrt{n}} \sum^n_1 \xi_i Y_i\) telles de Ledoux et Talagrand.