Boundary limits of derivatives of Poisson-Szegö integral (Q1907446)

On considère l'opérateur intégral \(P\) qui, à toute \(f\) intégrable sur la sphère \(S\) frontière de la boule unité ouverte \(B\) de \(\mathbb{C}^n\) \((n > 1)\), fait correspondre \[ B \ni z \mapsto Pf(z) = \text{ Valeur moyenne de } \bigl( 1 - |z |^2 \bigr)^n \bigl |1 - \langle z, \zeta \rangle \bigr |^{- 2n} f(\zeta),\;\zeta \in S, \] \(\langle z, \zeta \rangle = \sum_{j = 1}^n z_j \overline \zeta_j\), \(|z |^2 = \langle z,z \rangle\). Il suffit que \(f\) soit continue au point \(\zeta^0 \in S\) pour que \(Pf(z^k) \to f(\zeta^0)\) chaque fois que la suite \((z^k) \subset B\) converge vers \(\zeta^0\); par contre il ne suffit pas que \(f\) soit différentiable (sur \(S)\) au point \(\zeta^0\) pour que \(L^k (Pf)(z^k) \to L^0 f(\zeta^0)\) lorsque la suite des vecteurs \(L^k\), tangents en \(z^k\) aux sphères \(|z |= |z^k |\), converge vers le vecteur \(L^0\) tangent en \(\zeta^0\) à \(S\). Pour atteindre cette conclusion, on suppose: d'une part \(f\) ``anisotropiquement différentiable'' en \(\zeta^0\), en ce sens qu'il existe un polynome \(F\) de degré \(\leq 2\) en \(\text{Re} \zeta_j\), \(\text{Im} \zeta_j\), tel que \[ f(\zeta) = F(\zeta) + O \biggl( \bigl |1 - \langle \zeta, \zeta^0 \rangle \bigr |\biggr) \] quand \(\zeta \to \zeta^0\); d'autre part \((1 - \langle z^k, \zeta^0 \rangle)/(1 - |z^k |)\) borné.