Picard's principle for measures invariant under rotation (Q1907752)

Soient \(U\) la boule pointée \(\{x\in \mathbb{R}^n: 0< |x|< p\}\), \(n\geq 2\), \(\mu\) une mesure \(\geq 0\) portée par \(\overline {U}\) dans la classe de Kato locale associée à \(\overline {U} \setminus \{0\}\), \({}^\mu H^+ (U)= \{u\in {\mathcal C}^+ (U): \Delta u- u\mu =0\) au sens des distributions\}. On dit que \(\mu\) satisfait au principe de Picard si le cône \[ {}^\mu H^+_0 (U)= \{h\in {}^\mu H^+ (U): \lim_{x\to z} h(x)=0\;\forall z\in \partial \overline {U}\} \] est engendré par une seule fonction. Les Auteurs donnent plusieurs caractérisations des mesures radiales satisfaisant à ce principe en particulier: \[ \int^p_0 \Biggl[\int_{S^{n-1}} {}^\mu G^U (r\theta, rz) \sigma_{n-1} (dz) \Biggr]r^{n-2} dr=+ \infty\quad \forall \theta\in S^{n-1}, \tag{1} \] où \({}^\mu G^U\) est la fonction de Green sur \(U\) relative à \(\Delta- \mu\); \[ \int e_\mu (t) h_\mu (t) |t|^{-2} \lambda (dt)= +\infty, \tag{2} \] où \(e_\mu\) est l'unique fonction continue borné \(\in {}^\mu H^+ (U)\) telle que \(\lim_{x\to z} e_\mu (x) =1\) \(\forall z\in \partial \overline {U}\), \(h_\mu\) l'unique fonction radiale (normalisée en un point \(\in U\)) \(\in {}^\mu H^+_0 (U)\), \(\lambda\) la mesure de Lebesgue. Ils en déduisent, pour des mesures radiales: si \(\mu_2\) satisfait au principe de Picard, toute \(\mu_1\leq \mu_2\) aussi; si \(\mu\) satisfait au principe de Picard, \(c\mu\) aussi pour toute constante \(c>0\). Enfin ils signalent 2 mesures satisfaisant au principe de Picard, mais dont la somme n'y satisfait pas.