Computation of \(K_ 2\mathbb{Z}[\frac{1+\sqrt{-35}}{2}]\) (Q1909410)

L'A. montre que le \(K_2\) de l'anneau des entiers \({\mathcal O}_F\) du corps quadratique imaginaire \(F = \mathbb{Q} (\sqrt {-35})\) -- autrement dit le noyau dans \(K_2 (F)\) des symboles modérés attachés aux places finies de \(F\) -- est cyclique d'ordre 2. Sa preuve très technique repose sur la méthode introduite par \textit{H. Bass} et \textit{J. Tate} [in: Algebraic \(K\)-theory. II, Lect. Notes Math. 342, 349-446 (1973; Zbl 0299.12013)] qui consiste à observer que \(K_2 ({\mathcal O}_F)\) est egendré par les symboles \(\{x, y\}\) construits sur les \(S\)-unités dès que l'ensemble \(S\) contient les places finies de norme inférieure ou égale à une constante convenable \(M = M(F)\). C'est ainsi que l'on sait déjà à la suite des travaux de \textit{J. Tate} [op. cit., appendix, 524-527 (1973; Zbl 0284.12004)] et d'autres que \(K_2 ({\mathcal O}_F)\) est trivial pour les corps quadratiques imaginaires \(F = \mathbb{Q} (\sqrt {-d})\) avec \(d = - 1,-2,-3,-5,-6,-11,-19\), et qu'il est d'ordre 2 pour \(d = - 7\) et \(-15\). Dans le cas \(d = - 35\), l'A. montre ici que l'on peut prendre successivement \(M = 4693\) puis \(M = 2081\), et finalement \(M = 11\). Par une série de calculs il vérifie alors que \(K_2 ({\mathcal O}_F)\) est effectivement d'order 2, en accord avec le résultat conjecturé par \textit{J. Browkin} \([K\)-Theory 3, No. 1, 29-56 (1989; Zbl 0705.11072)].