An isoperimetric-type inequality for integrals of Green's functions (Q1913314)

Obere Schranken werden hergeleitet für Integrale über eine positive, zunehmende Funktion \(\varphi\) der Green'schen Funktion \(G_D (w, z)\) in einem konvexen Gebiet \(D\) der Ebene, und zwar bei gegebenem Radius \(R_D\) der größten in \(D\) enthaltenen Kreisscheibe. Bei gegebenen \(\varphi\) und \(R_D\) wird ein Extremalgebiet \(D^*\) mit größtem \[ I(\varphi, D):= \sup_{w\in D} \int_D \varphi [G_D (w, z)] dA_z \] gesucht. Im Spezialfall \(\varphi (x) \equiv x\) ist \(2 I(\varphi, D)\) das Maximum der Torsionsfunktion, und \(D^*\) ist ein Streifen \(S\). Verff. vermuten \(D^*= S\) für alle zugelassenen \(\varphi\), beweisen aber die schwächere Ungleichung \(I(\varphi, D)\leq C^2\cdot I(\varphi, S)\) mit \(C\simeq 1.0541\). Der Beweis beruht auf einer ``technischen'' oberen Abschätzung von \[ J(r):= \int_0^{2\pi} |F' (re^{i \theta}) |^2 d\theta, \] wobei die Funktion \(F\) den Einheitskreis auf ein ihm ausgeschriebenes Dreieck konform abbildet. Hier scheinen Verff. nicht weit zu sein vom vermuteten isoperimetrischen Satz mit 1 statt \(C\).