Weak solutions to a nonlinear partial differential equation of mixed type (Q1913889)

Untersucht wird in \(\mathbb{R}\times\mathbb{R}_+\) das Problem (E): \(u_t+(f(u))_x=(\beta(u))_{xx}\) mit \(u(x,0)=u_0(x)\) und \(f\in C^2(\mathbb{R})\) nichtlinear, \(\beta\in C^2(\mathbb{R})\) mit \(\beta(\lambda)= \beta'(\lambda)= \beta''(\lambda)=0\) für \(\lambda\in[a,b]\) \((a<0<b)\) und \(\beta'(\lambda)>0\) für \(\lambda\in\mathbb{R}\backslash[a,b]\). (E) ist ``hyperbolisch'' in \(H:=\{(x,t)\in\mathbb{R}\times\mathbb{R}_+\mid\beta(u(x,t))=0\}\) und ``parabolisch'' in \(P:=P_+\cup P_-\) mit \(P_{\pm}:=\{(x,t)\in\mathbb{R}\times \mathbb{R}_+\mid\beta(u(x,t))\gtrless 0\}\). Verf. betrachtet hierzu die ``vanishing viscosity'' Approximation \((\text{E})_\varepsilon:u^\varepsilon_t+ (f(u^\varepsilon))_x- (\beta(u^\varepsilon))_{xx}=\varepsilon u^\varepsilon_{xx}\), \(u^\varepsilon(x,0)= u^\varepsilon_0(x)\) \((\varepsilon>0)\), und leitet a priori-Abschätzungen her. Dann folgen Konvergenzuntersuchungen, Ergebnisse zu \(H\) und \(P_{\pm}\) und eine Existenzaussage für schwache Lösungen, schließlich noch Existenz einer verallgemeinerten ``travelling wave''.