Ternary fields and Latin squares (Q1914046)

Ausgehend von der Menge \(N=\{0,1, \dots, n-1\}\) mit \(n\geq 2\) und einer Ternärverknüpfung \(T:N^3\to N\) auf \(N\) (d.h. eine Koordinatisierung einer affinen Ebene der Ordnung \(n)\) werden zwei Möglichkeiten vorgestellt, um Systeme \(n\)-reihiger lateinischer Quadrate über \(N\) zu erhalten. Das erste (wohlbekannte) Verfahren führt stets zu einem vollständigen Orthogonalsystem \({\mathcal Q}\); das zweite (naheliegende) Verfahren führt zu einem System \({\mathcal Q}'\), welches nicht notwendigerweise ein vollständiges Orthogonalsystem ist. Zwei verschiedene Quadrate aus \({\mathcal Q}\) heißen inversorthogonal, wenn die entsprechenden zwei Quadrate aus \({\mathcal Q}'\) orthogonal sind. Die Hauptergebnisse der Arbeit lassen sich wie folgt zusammenfassen: 1. Eine einfache Charakterisierung der Inversorthogonalität von \({\mathcal Q}\); 2. eine Charakterisierung der Eigenschaft der Linearität von \(T\) durch Eigenschaften der Systeme \({\mathcal Q}\) und \({\mathcal Q}'\); 3. eine Charakterisierung der Eigenschaft der Faktorisierbarkeit von \(T\) durch Eigenschaften der Systeme \({\mathcal Q}\) und \({\mathcal Q}'\); 4. die Angabe zweier algebraischer Eigenschaften von \(T\), die jeweils die Inversorthogonalität des Systems \({\mathcal Q}\) implizieren. Das zuletzt skizzierte Ergebnis wird sowohl algebraisch als auch geometrisch bewiesen. Abschließend werden die Voraussetzungen von Satz 4 diskutiert. Es ist offen, inwieweit man auf Anforderungen der Addition in \(T\) verzichten kann.