Substitutions of formal power series and cyclotomy (Q1915690)

Etant donnée une série formelle en une variable sur le corps fini à \(q=p^t\) éléments, \(\gamma(t)\in t+t^2\mathbb{F}_q[[t]]\), d'ordre infini pour la loi de substitution, les auteurs étudient la structure du groupe multiplicatif \(U=1+t\mathbb{F}_q[[T]]\) comme module sur l'algèbre d'Iwasawa \(\Lambda=\mathbb{Z}_p[[\gamma(t)-1]]\) pour l'action de \(\gamma(t)\) induite par la substitution \(\psi(t)\mapsto\psi(\gamma(t))\). Ils s'appuient pour cela sur la théorie du corps des normes de \textit{J.-M. Fontaine} et \textit{J.-P. Wintenberger} [C. R. Acad. Sci., Paris, Sér. A 288, 367-370 (1979; Zbl 0475.12020) et ibid. 441-444 (1979; Zbl 0403.12018)] qui leur permet de relier \(U\) à un module galoisien classique attaché à une \(\mathbb{Z}_p\)-extension ramifiée d'un corps local de degré fini sur \(\mathbb{Q}_p\). Le résultat principal de l'article (th. 1) montre que le caractère noethérien de \(U\) se lit sur la ramification de \(\gamma(t)\) et que deux cas seulement sont alors possibles. En particulier, les auteurs prouvent que \(U\) possède un sous-module de \(\Lambda\)-torsion non trivial si et seulement s'il existe une série \(s(t)\in t\mathbb{F}_q[[t]]\) et une unité \(p\)-adique \(u\) telles qu'on ait \(s\circ\gamma(t)= (1+s(t))^u-1\).