On the number of flats spanned by a set of points in \(PG(d,q)\) (Q1916131)

Es sei \(P=PG(d,q)\) der \(d\)-dimensionale projektive Raum über dem Galoisfeld \(GF(q)\). Es seien \(1\leq n\leq s<d\) natürliche Zahlen, und es bezeichne \(N_q(r,d)\) die Anzahl der \(r\)-dimensionalen Teilräume in \(PG(q,d)\). Es sei \(\varepsilon>0\) eine ganze Zahl und \(X\) eine Punktmenge von \(P\) der Mächtigkeit \((1+\varepsilon) q^s\). Ein \(r\)-dimensionaler Teilraum \(F\) heiße aufgespannt durch \(X\), wenn \(X\cap F\) den Teilraum \(F\) aufspannt. Die Verfasser beweisen, daß für hinreichend große \(q\) die Anzahl der von \(X\) aufgespannten Teilräume mindestens \({4\over 27} ({\varepsilon \over 1+ \varepsilon})^2 N_q (r,s+1)\) ist.