On tangential star products for the coadjoint Poisson structure (Q1924095)

Dans cet article les auteurs ont donné une condition nécessaire pour l'existence de produit-star tangentiel sur le dual d'une algèbre de Lie munie de sa structure de Poisson coadjointe. En effet, ils ont montré la proposition suivante: Soient \({\mathfrak g}\) une algèbre de Lie et \(\beta\) une forme bilinéaire invariante sur \({\mathfrak g}^*\). Posons \(\Delta= \sum\beta^{ab} x_a\cdot x_b\). S'il existe une 2-cochaine différentiel \(D\) sur \({\mathcal C}^\infty(U)\), où \(U\) est un voisinage de 0 dans \({\mathfrak g}^*\), vérifiant: i) \(D(\Delta,v)=0\) \(\forall v\in{\mathcal C}^\infty(U)\), ii) \(\delta D(u,v,w)= \{\{u,w\},v\}\). Alors l'idéal \(\widehat{\beta} ({\mathfrak g^*})\) est nilpotent de pas 2. En appliquant cette proposition au deuxième terme d'un produit-star, ils obtiennent le théorème suivant: S'il existe un produit-star différentiel et tangentiel sur un voisinage de 0 dans \({\mathfrak g}^*\), alors \(\widehat{\beta} ({\mathfrak g}^*)\) est un idéal nilpotent de pas 2. En particulier, si \({\mathfrak g}\) est semi-simple, il n'existe pas de produit-star différentiel et tangentiel sur \({\mathfrak g}^*\).