On the square of a nonlinear operator (Q1924916)

De l'introduction: Dans cet article nous proposons une définition du ``carré'' d'un opérateur non linéaire fondée sur la remarque suivante: dans le cas d'un opérateur \(B\in{\mathcal L}(X)\), définissant pour \(|\lambda|<\|B\|^{-1}\) l'``approximation Yosida'' \(B_\lambda= B(I+ \lambda B)^{-1}= {I-(I+\lambda B)^{-1}\over \lambda}\), on a \(B^2= \lim_{ \lambda \to 0}{B-B_\lambda \over\lambda}\) dans \({\mathcal L}(X)\). Compte tenu de l'application que nous souhaitons faire, nous considérons des opérateurs non linéaires \(B:X\to {\mathcal P}(X)\) ``à résolvante'', c'est à dire tel que \((I +\lambda B)^{-1}\) soit un operáteur univoque partout défini pour tout \(\lambda >0\) suffisament petit; pour un tel opérateur \(B\) on peut considérer son approximation de Yosida \(B_\lambda= {I-(I+ \lambda B)^{-1} \over\lambda}\) et définir \(B_2=\text{``lim''}_{\lambda\to 0}{B-B_\lambda \over\lambda}\); nous prendrons, comme il est classique en théorie des opérateurs non linéaires, la limite au sens de la limite inférieure des graphes. Cette définition du ``carré de \(B\)'' sera précisée dans la Section 1 où nous ferons également le lien avec la notion classique dans le cas linéaire. Nous montrerons dans la Section 2 que cette définition répond bien à la question posée, c'est à dire \(A=(A_{1/2})_2\), dans le cas d'un opérateur \(A: X\to X\) de classe \({\mathcal C}^1\) et accrétif avec \(0\in R(A)\). Nous considérons enfin dans la Section 3, le problème pour \(X=H\), \(A=\partial \Phi\) où \(\Phi:H \to[0,\infty]\) est convexe, s.c.i. avec \(\Phi(0)=0\).