A class of loops of order \(2^n\) (Q1969621)

Es sei \((V,+,o)\) der \(n\)-dimensionale Vektorraum (\(n\geq 2\)) über dem Körper \(\mathbb{Z}_2\) und \(R\) sei eine symmetrische Relation auf \(V\), so daß \(xRy=xR(y+e)\) für alle \(x,y\) und ein festes Element \(e\neq 0\) aus \(V\) gilt. Bezeichnet man mit \(R\colon V\times V\to\mathbb{Z}_2\) zugleich die charakteristische Funktion von \(R\) (d.h.\ hat man für \(x,y\in V\) die Beziehung \(xRy\) genau dann, wenn \(R(x,y)=1\) gilt), so wird durch \(x+_Ry=x+y+R(x,y)e\) auf \(V\) die Struktur einer kommutativen Loop \(V_R\) mit neutralem Element \(o\) genau dann definiert, wenn \(R(o,x)=0\) für alle \(x\in V\) gilt. Die charakteristische Funktion \(R\) ist als Kokette interpretierbar. Die Loop \(V_R\) ist assoziativ (und dann isomorph zu \(V\)), wenn \(R\) ein Korand ist. Außer den eben geschilderten Ergebnissen bestimmt der Verfasser, wann es einen Isomorphismus von \(V_R\) nach \(V_S\) gibt und bettet die Resultate seiner in Des. Codes Cryptography 8, No. 1-2, 203-214 (1996; Zbl 0867.05005) erschienenen Arbeit in den allgemeineren Rahmen der hier besprochenen Arbeit ein.