On the circle problem with linear weight (Q1969633)

Es bezeichne \(A(r)\) die Summe der Werte von \(f(x,y)=\alpha x+\beta x+\gamma\) für alle ganzzahligen Paare \((x,y)\), die der Bedingung \((x-a)^2+(y-b)^2\leq r^2\) genügen, also die Anzahl der mit dem Gewicht \(f(x,y)\) versehenen Gitterpunkte \((x,y)\), die im Kreis um \((a,b)\) mit dem Radius \(r\) liegen. Ein tiefschürfendes Resultat von \textit{M. N. Huxley} [Proc. Lond. Math. Soc. (3) 66, 279-301 (1993; Zbl 0820.11060)] besagt im Falle \(\alpha=\beta=0\) und \(\gamma=1\) sowie \(a=b=0\), dass mit wachsendem \(r\) \[ A(r)=\pi r^2+O(r^{(46/73)+\varepsilon})\;\text{für alle }\varepsilon>0 \] besteht. Verf. verallgemeinert diese Asymptotik zu \[ A(r)=(\alpha a+\beta b+\gamma)\pi r^2+O(r^{(46/73)+\varepsilon})\text{ für alle }\varepsilon>0, \] für den Fall, dass \(\alpha\) und \(\beta\) sowie \(a\) und \(b\) gewissen, teilweise sehr einfachen Bedingungen genügen.