On \((n+1)\)-gons in \(n\)-dimensional affine spaces (Q1976819)

Im \(n\)-dimensionalen reellen affinen Raum \(A^n\) \((n\geq 2)\) seien \(n+1\) ``affin unabhängige'' (d.h. den \(A^n\) aufspannende) Punkte \(e_0,e_1, \dots,e_n\) gegeben. Dann bilden die Verbindungsgeraden \(G_i:e_i e_{i+1}\) \((i=0,1, \dots,n; e_{n+1}: =e_0)\) die ``Seiten'' des ``normalen \((n+1)\)-Seits'' \(\{e_0, \dots,e_n\}\) mit den Ecken \(e_i\). Verf. leitet zunächst eine Formel für das Volumen \(V(S)\) der konvexen Hülle einer Menge \(S\) von \(n+1\) beliebigen Punkten \(x_0,x_1,\dots,x_n\) mittels der baryzentrischen Koordinaten dieser Punkte bezüglich \(\{e_0,\dots,e_n\}\) her. Bekanntlich gilt: \(S\) ist ``koplanar'' (d.h. in einer Hyperebene gelegen) genau dann, wenn \(V(S)\) verschwindet. Mit Hilfe dieses analytischen Werkzeugs entwickelt Verf. -- ausgehend vom Fall \(n=2\), in dem \(V(S)=0\) die Kollinearität dreier Punkte kennzeichnet -- ein einheitliches, zugleich eine Verallgemeinerung auf beliebige Raumdimension \(n\) ermöglichendes, Beweisprinzip für drei klassische Sätze der ebenen (affinen) Geometrie, nämlich die Sätze von Menelaos (über Transversalen eines Dreiecks), von E. Cesàro (über Dreiecks-Zwillinge) und von Gauß (über die Mittelpunkte der Diagonalen eines vollständigen Vierseits). Beispielsweise gilt (Satz 1): Ist in jeder Seite \(G_i\) eines normalen \((n+1)\)-Seits \(\{e_0,\dots,e_n\}\) ein Punkt \(x_i\) gegeben, der nicht zu den Ecken dieses \((n+1)\)-Seits gehört, so ist \(\{x_0,\dots,x_n\}\) genau dann koplanar, wenn die Teilverhältnisse \(t_i:=TV(x_i,e_i,e_{i+1})\) der Bedingung \(t_0t_1 \dots t_n=(-1)^{n+1}\) genügen.