Fair decisions (Q1976821)

Das Problem, oft bei Kindern gesehen, faire Entscheidungen durch Fingerheben zu erzielen, wird mathematisch übersetzt und verallgemeinert in eine ``Freunde-treffen-Entscheidungs-Situation'', in der \(k\) Freunde eine faire Entscheidung zwischen \(a\) Möglichkeiten treffen und zwar so, dass sich der \(k\)-te Teilnehmer gemäß \(P_k\) für eine Zahl zwischen 0 und \(n-1\) entscheidet, sodann werden die \(k\) Zahlen addiert und modulo \(a\) ausgewertet. Dabei sind die Wahrscheinlichkeitsmaße \(P_k\) Verteilungen unabhängiger Zufallsvariablen \(X_1,\dots\), und es wird nach der Verteilung von \((X_1+ \cdots+ X_k)\bmod a,\) also nach Zahlen \[ Q\bigl( \{\alpha\}\bigr): =P\bigl((X_1+ \cdots+ X_k) \bmod a=\alpha \bigr) \] gefragt \((\alpha=0, \dots,a-1)\). Gelöst werden die Probleme: Alle \(P_k\) sind die Gleichverteilungen auf \(\{0,\dots, n-1\}\). Für welche \(k,a\) ist dann \(Q\) die Gleichverteilung auf \(\{0,\dots,a-1\} \)? Kann \(Q\) auch dann die Gleichverteilung sein, wenn die \(P_k\) nicht gleichverteilt sind? Es sei \(k=2\) und \(P_1\) vorgegeben. Ist es dann möglich, ein \(P_2\) so zu finden, dass \(Q\) die Gleichverteilung ist? Sind mehrere Lösungen denkbar? Hierbei werden zur Lösung Ideen der harmonischen Analysis genutzt. Weiter wird eine allgemeinere Situation, nämlich das Problem der Auswahl im Fall beliebiger endlicher kommutativer und nicht-kommutativer Gruppen mit Hilfe der Fouriertransformation vollständig gelöst, wobei die unterschiedlichen Phänomene in den Gruppentypen durch das Verhalten von komplexen Zahlen bzw. komplexen Matrizen hervorgerufen werden. Die zum Verständnis benötigte Mathematik ist elementar, außer Grundkenntnissen über komplexe Zahlen und Matrizen wird nichts vorausgesetzt.