The irrationality measure of \(\pi\) as seen through the eyes of \(\cos (n)\) (Q2036218)

Summary: Für natürliche Zahlen \(n > 0\) liegen die Werte \(\cos n\) im offenen Intervall \((-1, 1)\). Man könnte daher vermuten, dass die Zahlen der Folge \((\cos n)^n\) mit wachsendem \(n\) gegen 0 streben. Andererseits liegen die Zahlen \(\cos n\) dicht in \([-1, 1]\), und es könnte daher sein, dass gewisse Werte \(\cos n\) so nahe bei 1 oder \(-1\) liegen, dass dies auch noch für die Potenz \((\cos n)^n\) zutrifft. Tatsächlich ist letzteres der Fall. Mehr noch: Die Autoren der Arbeit zeigen, dass es ein ganzes Spektrum von Teilfolgen gibt, die sich aus der Umgebung von 0 lösen. Diese Teilfolgen hängen zusammen mit den Nennern, die in der diophantischen Approximation von \(\pi\) erscheinen und geben Einblick in das Irrationalitätsmass von \(\pi\). Das Irrationalitätsmass einer Zahl beschreibt, wie effizient sie durch rationale Zahlen approximiert werden kann. Man weiss, dass das Irrationalitätsmass von \(\pi\) (und jeder anderen transzendentalen Zahl) grösser oder gleich 2 ist, der genaue Wert ist jedoch unbekannt. Die numerischen Indizien in dieser Arbeit deuten nun darauf hin, dass das Irrationalitätsmass von \(\pi\) genau 2 ist.