Reduction and lifting problem for differential forms on Berkovich curves (Q2074834)

La motivation de ce travail est double. La motivation générale est d'établir une une nouvelle instance importante de la réduction tropicale sur les courbes de Berkovich. La seconde est de réinterpréter et reprouver le résultat principal de [\textit{M. Bainbridge} et al., Duke Math. J. 167, No. 12, 2347--2416 (2018; Zbl 1403.14058)] en termes de géométrie non archimédienne. Ce travail, parmi d'autres dont [\textit{D. Chen} and \textit{Q. Chen}, Sel. Math., New Ser. 25, No. 2, Paper No. 20, 42 p. (2019; Zbl 1409.14048)], laisse entrevoir une riche interaction entre la théorie de la géométrie logarithmique et les différentielles abéliennes sur les surfaces de Riemann. Plus précisément, étant donné un corps \(k\) complet à valeurs réelles de caractéristique résiduelle zéro. Les auteurs définissent une réduction tropicale pour une courbe \(k\)-analytique \(X\) munie d'une différentielle abélienne méromorphe \(\omega\). Le résultat principal de cet article donne des conditions nécessaire et suffisante pour qu'une réduction tropicale provienne d'une telle paire \((X,\omega)\). La preuve repose sur la description, intéressante en soit, des différentielles ne possédant pas de zéros ou pôles sur un anneau. Pour terminer, il est intéressant de remarquer que le problème de généraliser le résultat principal de cet article au cas de la caractéristique positive est ouvert.