Apparent paradoxical partitions in countable sets (Q2106405)

Summary: Man betrachte eine bestimmte Eigenschaft \(P\) der natürlichen Zahlen \(\mathbb N\) und eine Partition von \(\mathbb N\) in disjunkte, unendliche Teilmengen \(E_i\), \(i \in \mathbb N\), so dass in jedem \(E_i\) nur endlich viele Zahlen die Eigenschaft \(P\) besitzen. Insbesondere ist die Dichte der Zahlen mit der Eigenschaft \(P\) in jeder Teilmenge Ei gleich 0. Kann es sein, dass trotzdem die Dichte der Zahlen mit der Eigenschaft \(P\) in \(\mathbb N\) mindestens 1/2 beträgt? Auf den ersten Blick scheint dies paradox, obwohl es bei genauerer Betrachtung einfach zu erklären ist. Dasselbe Phänomen zeigt sich auch im Kontext von algebraischen Zahlen: Auch dort wurde eine Klasse algebraischer Zahlen mit einer Dichte von \(1/\zeta(3) = 0.8319 \ldots\) identifiziert, obwohl eine Zerlegung scheinbar nahelegt, dass die Zahlen selten sind. Die Autoren der vorliegenden Arbeit gehen dem Phänomen auf den Grund und formulieren interessante Anschlussfragen für die weitere Forschung.