Two remarkable triangles of a triangle and their circumcircles (Q2165290)

Summary: Die Durchmesser \(AA'\), \(BB'\), \(CC'\) des Umkreises eines Dreiecks \(ABC\) schneiden sich in sechs verschiedenen Punkten. Der zweite Autor des vorliegenden Artikels vermutete, dass zwei der Dreiecke, die durch diese sechs Punkte bestimmt sind, dem Dreieck \(ABC\) ähnlich sind. Daraufhin entspann sich eine intensive Zusammenarbeit mit dem zweiten Autor über die Eigenschaften dieser zwei Dreiecke und deren Umkreise. Dabei konnte nicht nur die Vermutung bestätigt werden: Es stelle sich weiter heraus, dass sich die beiden er\-wähn\-ten Umkreise im Höhenschnittpunkt \(H\) des Dreiecks \(ABC\) und einem weiteren Punkt \(H'\) schneiden, und dass die Zentren \(U\) und \(U'\) der beiden Umkreise zusammen mit \(H\) und dem Umkreismittelpunkt \(O\) des Dreiecks \(ABC\) ein Parallelogramm bilden. Damit nicht genug: \(UOH'U'\) ist ein symmetrisches Trapez. So ist es durchaus denkbar, dass die ürsprunglichen sechs Schnittpunkte noch zahlreiche weitere geometrische Wunder bergen.