On the \(\operatorname{BV}\) structure on the cohomology of moduli space (Q2214895)

Soit \(\mathcal{M}_{g}(n)\) l'espace des modules des surfaces de Riemann munies de \(n\) points marqués non étiquetés. On définit dans l'homologie rationnelle l'opérateur BV (pour Batalin-Vilkovisky) \[\Delta \colon H_{k} (\mathcal{M}_{g}(n+2)) \to H_{k} (\mathcal{M}_{g+1}(n+1)) \] induite par l'opération qui remplace deux petits disques en un cylindre pour chaque paire de points marqués. On définit de même pour \(n_{1},n_{2}\geq0\) l'anti-crochet \[ \lbrace\cdot , \cdot\rbrace \colon H_{k_{1}}(\mathcal{M}_{g_{1}}(n_{1}+1)) \otimes H_{k_{2}}(\mathcal{M}_{g_{2}}(n_{2}+1)) \to H_{k_{1}+k_{2}+1}(\mathcal{M}_{g_{1}+g_{2}}(n_{1}+n_{2}+1)) . \] On peut alors définir l'équation quantique maître \[dS + \hbar \Delta S + \frac{1}{2} \lbrace S,S\rbrace = 0 ,\] où \(S\) est une série formelle dont les coefficients sont des chaînes de \(\mathcal{M}_{g}(n)\) et \(d\) est l'opération de bord. Cette équation peut être vue comme une opération dans la cohomologie via l'application de Poincaré-Lefschetz. Elle joue un rôle important dans la théorie de champs de cordes. Les auteurs montrent tout d'abord que ces opérations peuvent se formuler via un résidu de Poincaré. Ils s'intéressent par la suite à des résultats d'annulement de ces opérateurs. Dans le cas \(g=0\), l'opérateur BV s'annule pour tout \(k\geq0\) et \(n\geq1\). L'anti-crochet s'annule pour tout \(k_{1},k_{2}\geq0, g_{1}=g_{2}=0\) et \(n_{1},n_{2}\geq1\). Dans le cas \(g>0\), l'opérateur BV s'annule pour tout \(k\>4g-2+n\) et \(n\geq0\). L'anti-crochet s'annule pour \(k_{1}>4g_{1}-3+n_{1}\) ou \(k_{2} > 4g_{2}-3+n_{2}\), \(g_{1},g_{2}>0\) et \(n_{1},n_{2}\geq0\). Enfin, les auteurs montrent que l'opérateur BV \[\Delta\colon H_{5}(\mathcal{M}_{2}(2)) \to H_{6}(\mathcal{M}_{3}) \] est un isomorphisme entre ces deux \(\mathbb{Q}\)-espaces vectoriels (et a fortiori ne s'annule pas). Il ne semble pas connu si l'anti-crochet peut ne pas s'annuler.