Über die Charakterisierung der Funktion \(f(x)=x\) durch Funktionalgleichungen. I (Q2266391)

Pour le système d'équations fonctionnelles \(f(1+x)=1+f(x)\), \(f(\phi (x))=\phi (f(x))\), où \(x\in {\mathbb{R}}\) et \(\phi\) : \({\mathbb{R}}\to {\mathbb{R}}\), le deuxieme A. a démontré [C. R. Math. Acad. Sci., Soc. R. Can. 5, 27-28 (1983; Zbl 0498.39006)] que si \(\phi (x)=x^ 2\), la seule solution réelle est \(f(x)=x\). Dans cet travail, les auteurs généralisent le résultat pour des fonctions f(x) qui remplisent certaines conditions de bornage et pour des fonctions \(\phi\) (x) pour les quelles on a \(\overline{\lim}_{n\to \infty}[\phi^{[n]}(x)- \phi^{[n]}(y)]=\infty,\) \((x,y>a\), \(x\neq y)\), où \(\phi^{[n]}\) est la n-ième itéré de \(\phi\) (x) et en plus \(\phi (-x)=\phi (x)\). En particulier, pour \(\phi (x)=| x|^ a\), \(a\in {\mathbb{R}}\setminus \{-1\}\), la seule solution du système est \(f(x)=x\).