Lie groups and Lie algebras in physics. An introduction to the mathematical foundations. (Q2276040)

Wie bekannt, ist der Symmetriebegriff im Rahmen der modernen Physik ein unentbehrliches Mittel zur mathematischen Beschreibung der fundamentalen Eigenschaften eines Systems und die Herleitung der zugrundeliegenden Erhaltungssätze. Eine aktualisierte Behandlung vieler Themenkomplexe der Atom-, Elementarteilchen- oder Festkörperphysik ohne Gruppentheorie ist kaum noch möglich. Daher ist eine solide und verständliche Einführung in die Methoden der Lie-Gruppen und Lie-Algebren unentbehrlich, da diese Begriffe oft in der Literatur vorausgesetzt werden. Diese Lücke in der physikalischen Literatur zu füllen ist keine einfache Aufgabe, da sich das Einarbeiten in die Liesche Theorie als selbständige Disziplin recht mühsam sein kann. Hauptziel dieses Buches ist es, die allgemeinen Grundlagen und Ergebnisse der Lieschen Theorie in attraktiver und praxisnaher Form darzustellen, die das Selbststudium des Werkes ermöglichen. Der Stoff ist in neun Kapiteln unterschiedlicher Länge eingeteilt, und wird mit sehr vielen Beispielen ergänzt, die die Begriffe und Methoden verdeutlichen sollen. Der Autor verzichtet bewusst auf eine abstrakte Behandlung des Stoffes, da es hauptsächlich darum geht, die Verfahren und Ergebnisse für den (angehenden) Physiker oder Naturwissenschaftler verständlich zu machen, um sie ohne unnötige Formalismen schnell in die Praxis umsetzen zu können. Zu jedem Kapitel wird weiterführende Literatur angegeben, wo der Leser Einzelheiten oder verschiedene Ansätze zum Thema finden kann. Kapitel 2 ist eine Kurzfassung der elementaren Eigenschaften (endlicher) Gruppen, das illustrieren soll, dass Gruppen als natürliche mathematische Struktur erscheinen, wenn Symmetrieeigenschaften eines Objektes oder Phänomens untersucht werden. Dadurch werden nur solche Eigenschaften besprochen, die auch später in der Behandlung von kontinuierlichen Gruppen von Wichtigkeit sein werden, und rein formelle Ergebnisse oder Struktursätze werden nicht erwähnt. Kapitel 3 ist der Darstellungstheorie (endlicher) Gruppen gewidmet. Hier werden wichtige Punkte wie Charaktere, Orthogonalitätsbedingungen, die Schurschen Lemmata oder der Satz von Burnside in Einzelheiten besprochen. Weiter wird hier schon eine erste hierarchische Unterscheidung der Darstellungen eingeführt, die für den Fall der Lie-Gruppen und deren physikali\-sche Anwendungen in späteren Kapiteln wichtig sein wird: die reellen, pseudoreellen und komplexen Darstellungen. Auch die Strahldarstellungen als wichtiges Werkzeug in der Quantenmachanik werden kurz erläutert. Das Kronecker- oder Tensor-Produkt wird behandelt, so wie die Clebsch-Gordan-Koeffizienten, eines der wichtigsten Werkzeuge in physikalischen Anwendungen der Gruppentheorie, die dennoch meistens in rein mathematischen Lehrbüchern nicht enthalten sind. Wichtig in diesem Rahmen ist ebenfalls die Besprechung der sogennanten induzierten und subduzierten Darstellungen, die eng mit dem Begriff des (spontanen) Symmetriebruchs verbunden sind. Anhand der Punktgruppe \(C_{4v}\) werden die eingeführten Methoden anschaulich illustriert. Mit Kapitel 4 beginnt die eigentliche Behandlung der Lie-Gruppen. In den ersten beiden Abschnitten wird der Leser an die topologischen und differentialgeometrischen Grundlagen erinnert, die für die Theorie nötig sind. Anstatt die abstrakten Lie-Gruppen formal einzuführen, entscheidet sich der Verfasser für den (wichtigsten) Fall der linearen Lie-Gruppen, d.h., der Matrizen-Gruppen. Einerseits wird damit verdeutlicht, dass die klassischen und die in den Anwendungen interessanten Gruppen hauptsächlich als Transformationsgruppen erscheinen, andererseits erlaubt dieser Ansatz, die Lie-Gruppen geometrisch zu interpretieren. Lie-Algebren und ihre fundamentalen Eigenschaften werden in Kapitel 5 definiert. Hier werden die Lie-Algebren der klassischen Gruppen angegeben, und einige elementare Operationen wie Unteralgebren, Ideale usw. kurz erläutert. Die Grundbegriffe der Darstellungen werden gegeben, und anhand der Rotations-Algebra \(\mathfrak{so}(3)\) wird gezeigt, dass quadratische Operatoren in den Erzeugenden (d.h., der quadratische Casimir-Operator) bei der Charakterisierung von irreduziblen Darstellungen eine wichtige Rolle spielen werden. Es sei darauf hingewiesen, dass Gleichung (5.34a) einen Tippfehler enthält: Es muss \(L_1\cap L_2= 0\) sein, da Vektorräume immer ein gemeinsames Element haben, und zwar den Nullvektor. Die Beziehung zwischen (linearen) Lie-Gruppen und Lie-Algebren mittels der Exponentialabbildung wird im sechsten Kapitel in Einzelheiten besprochen. Dort werden die Lie-Algebren als Tangentialräume von Lie-Gruppen am Einselement charakterisiert. Diese Tatsache ermöglicht dann die lokale Integration der Gruppe (Sätze von Lie) und zeigt, dass wichtige Information über die Struktur der Gruppe aus der Lie-Algebra gewonnen werden kann. Darstellungen der Lie-Gruppen werden im Zusammenhang mit deren der Lie-Algebren untersucht. Obwohl in indirekter Form, wird der fundamentale Wigner-Eckart-Satz in diesem Abschnitt eingeführt. Üblicherweise in mathematischen Abhandlungen nicht erwähnt, ist dieser Satz von zentraler Bedeutung in allen quantenmechanischen Anwendungen der Gruppe SO(3). Kapitel 7 dient der Analyse halbeinfacher Lie-Algebren. Dieser Abschnitt folgt eher der standardisierten Entwicklung des Stoffes. Die Killingsche Form, Cartan-Unteralgebren, die Cartan-Weyl-Form einer (komplexen) halbeinfachen Lie-Algebra, Wurzelsysteme, Weyl-Gruppe, Coxeter- und Dynkin-Diagramme werden untersucht und durch viele Beispiele motiviert und veranschaulicht. In Kapitel 8 wird untersucht, wie die verschiedenen reellen Formen einer komplexen halbeinfachen Lie-Algebra gewonnen werden. Zu diesem Zweck hat der Verfasser die Konstruktion nach \textit{F. Gantmacher} [``On the classification of real simple Lie groups'', Rec. Math., Moscou, n. Ser. 5, 217--249 (1939; Zbl 0022.31503)] gewählt, wonach sich die reellen Formen mit Hilfe der (inneren und äußeren) involutiven Automorphismen der kompakten Form ableiten lassen. Im letzten Kapitel werden die irreduziblen Darstellungen halbeinfacher Lie-Algebren studiert. Gewichte, höchste Gewichte, Charaktere und Dimensionsformel einer Darstellung werden auf übliche Weise eingeführt und besprochen. Nebenbei werden Begriffe behandelt, die in der Regel in mathematischen Lehrbüchern selten aufgenommen werden, zumindest nicht in einführenden Texten. Dazu gehören die Casimir-Operatoren, die nach Racah zu der Charakterisierung von irreduziblen Darstellungen dienen, einige Aspekte der Tensor-Produkte und deren Verzweigungsregeln, die Klimyk-Formel (im Text falsch als ``Klymik'' angegeben) oder die Young-Tableaux zur kombinatorischen Behandlung der Tensor-Produkte. Zuletzt wird auch das Problem der halbeinfachen Lie-Unteralgebren halbeinfacher Lie-Algebren erörtert. Es sei daran erinnert, dass nicht-äquivalente Einbettungen von Lie-Algebren stets verschiedene Verzweigungsregeln der (subduzierten) Darstellungen implizieren. Daher ist dieser Abschnitt besonders in Hinsicht des (spontanen) Symmetriebruchs wichtig. Die Literaturhinweise sind nach Kapiteln eingeteilt. Dort werden rein mathematische Werke und physikalisch orientierte Bücher aufgezählt, die dem Leser ein tieferes Studium der Theorie ermöglichen sollen. Bei vielen der zitierten Werke handelt es sich um spezialisierte Arbeiten, die gruppentheoretische Methoden für konkrete physikalische Probleme entwickeln. Es sei nebenbei gesagt, dass unter den physikalisch orientierten Büchern der Rezensent das Buch von \textit{H. Georgi} [Lie algebras in particle physics. From isospin to unified theories. Frontiers in Physics, 54. Reading, Massachusetts, etc.: The Benjamin/Cummings Publishing Company, Inc., Advanced Book Program. (1982; Zbl 0505.00036)] vermisst. Abschließend kann man sagen, dass das Buch eine gut gelungene Einführung in die mathematischen Grundlagen der Lieschen Gruppen und Algebren darstellt. Durch die hohe Anzahl von konkreten und zielbewusst ausgesuchten Beispielen werden die verschiedene Begriffe sehr gut illustriert, und die Einführung physikali\-scher Schreibweise (besonders bei Darstellungen) erleichtert dem Leser das Bearbeiten anderer Lehr- und Sachbücher.