Morphisms and period matrices (Q2332376)

Soient \(S\) et \(S'\) deux surfaces de Riemann de genres supérieurs ou égaux à \(2\). Un résultat classique [\textit{M. de Franchis}, Rend. Circ. Mat. Palermo 36, 368 (1913; JFM 44.0657.02)] assure qu'il existe un nombre fini \(\mathcal{N}(S,S')\) de morphismes \(f\colon S \to S'\). Plusieurs auteurs ont donné des bornes effectives pour \(\mathcal{N}(S,S')\) ne dépendant que de \(g\). Toutefois, la meilleure borne connue [\textit{F. Chamizo} and \textit{Y. Fuertes}, Osaka J. Math. 48, No. 3, 743--748 (2011; Zbl 1250.30035)] croît super exponentiellement en \(g\), ce qui est très loin des bornes optimales conjecturales. Le but de cet article est de montrer le résultat suivant. Soit \(\Omega = (I,A+iB)\) une matrice des périodes de \(S\) sous sa forme standard et \(M=\max(|B|+|B^{-1}|+|AB^{-1}A|,8)\) où \(|\cdot|\) est la norme induite par la norme euclidienne, alors \[ \mathcal{N}(S,S') < (4e\sqrt{2} M)^{g} \sqrt{\frac{32g}{\pi}} . \] La preuve de ce résultat possède deux étapes principales. La première consiste à utiliser le fait qu'un morphisme de surfaces de Riemann induit un morphisme des variétés jacobiennes. La seconde consiste à compter le nombre de points entiers dans un ellipsoïde.