Basic course in topology (Q2344030)

Die zweite Auflage dieses erfolgreichen Lehrbuches verfolgt dasselbe Ziel wie die Erstauflage: die Leser und Leserinnen möglichst rasch an die Algebraische und die Geometrische Topologie heranzuführen. Unverändert besteht der Text aus 11 Kapiteln, in denen gegenüber der Erstauflage einige Korrekturen und Verbesserungen vorgenommen wurden. Die ersten vier Kapitel dienen dazu, auf insgesamt 82 Seiten die aus der Mengentheoretischen Topologie benötigten Grundlagen zu präsentieren. Nach der Einführung metrischer und topologischer Räume werden universelle Konstruktionen behandelt sowie die Themen ``Zusammenhang und Trennung'' und ``Kompaktheit und Abbildungsräume''. Dabei beschränken sich die Autoren jeweils strikt auf das, was für die Kapitel 5 bis 11 von Nutzen ist. Darüber hinausgehende Dinge, die in anderen Kontexten (z.B. der Funktionalanalysis) von Nutzen sein könnten, werden nicht erwähnt (z.B. Parakompaktheit). Hervorzuheben ist, dass die heute in vielen Bereichen (nicht nur) der Algebraischen Topologie übliche Sprache der Kategorientheorie bereits im ersten Kapitel eingeführt und dann im gesamten Text benutzt wird. Das fünfte Kapitel ist eine mit 15 Seiten kurze Einführung in das Gebiet der Transformationsgruppen, das ab dem achten Kapitel angewendet wird. Der Schwerpunkt des Lehrbuches liegt in den Kapiteln 6 bis 8, die auf zusammen 82 Seiten in die Homotopietheorie und die Theorie der Überlagerungen einführen. Insbesondere hier ist die Darstellung weitgehend kategoriell. Im Kapitel 6 wird zunächst der Wegekomponentenfunktor eingeführt und der Satz von Mayer-Vietoris für Wegekomponenten hergeleitet. Anschließend wird die Homotopiekategorie definiert und gezeigt, dass der Wegekomponentenfunktor über die Homotopiekategorie faktorisiert. Wie üblich wird als erste Anwendung der Fixpunktsatz von Brouwer für Scheiben bewiesen. Das Kapitel 7 widmet sich der Fundamentalgruppe. Als zentral wird der Satz von Seifert-van Kampen zunächst für Fundamentalgruppoide und dann auch für Fundamentalgruppen herausgearbeitet. Danach wird die Theorie beispielhaft auf einige Flächen angewendet. Im Kapitel 8 wird zuerst die Kategorie der Überlagerungen eingeführt und dann der Hochhebungssatz für Überlagerungen bewiesen. Anschließend wird der Fasertransportfunktor betrachtet und mit Hilfe des Funktors, der jeder Überlagerung ihren Fasertransportfunktor zuordnet, der Hauptsatz der Überlagerungstheorie bewiesen. Schließlich wird noch auf die formalen Ähnlichkeiten hingewiesen, die es zwischen der Theorie der Überlagerungen und der Galois-Theorie der Körpererweiterungen gibt. Die drei restlichen Kapitel stellen jeweils Einführungen dar und geben Ausblicke auf weiterführende Gebiete, die nach der Lektüre dieses Lehrbuches studiert werden können. Das ist einerseits die Theorie der Bündel und Faserungen, die im Kapitel 9 behandelt wird, und andererseits die Garbentheorie, zu der Kapitel 10 hinführt. In eine andere Richtung geht das abschließende Kapitel 11, in dem simpliziale Mengen vorgestellt werden. Jedes Kapitel enthält mehrere Abschnitte ``Ergänzungen'', mit denen die Fülle der angesprochenen Themen erheblich erweitert wird. Darüber hinaus gibt es mehr als 170 Übungsaufgaben, von denen die meisten ebenfalls dazu dienen, ergänzenden Inhalt zu liefern. Infolgedessen enthält das Lehrbuch mehr Stoff, als es die 242 Seiten erwarten lassen. Erreicht wird das auch dadurch, dass es den Lesern und Leserinnen häufig überlassen wird, die nur angedeuteten Details selbständig auszuarbeiten. Das Lehrbuch ist daher vor allem für diejenigen geeignet, die dazu in der Lage sind und den Wunsch haben, sich möglichst schnell und intensiv die Grundlagen für ein weitergehendes Studium der Algebraischen Topologie zu erarbeiten.