Limit theorems for Banach-valued autoregressive processes. Applications to real continuous time processes (Q2365211)

Ce travail concerne les processus \(\xi_t\) qui admettent une représentation ``\(\text{AR}B\)'', i.e. autorégressive \(\{X_n\}\) à valeurs dans un espace de Banach \(B\). Cela signifie qu'il existe \(\{X_n\}\), \(n\in\mathbb{Z}\), strictement stationnaire, avec \(EX_n=m\) et \(X_n-m=\rho(X_n-m)+\varepsilon_n\), \(\varepsilon_n\) indépendantes, centrées, de même loi \(\in E|\varepsilon|^2<\infty\), \(\rho\) est un opérateur linéaire borné de \(B\) dans \(B\), telque \(\sum|\rho^n|<\infty\). Alors \(X_n= m+\sum^\infty_0 \rho^j(\varepsilon_{n-j})\). Le lien avec \(\xi_t\) est généralement \(\xi_{n+t}= X(t)\), \(t\in[0,1]\), \(B=C[0,1]\). Des exemples sont donnés au \S 3, dont le processus d'Ornstein-Uhlenbeck, la solution de l'équation \(\sum^k_0 a_l d\xi^{(l)}(t)=dw(t)\) (\(w(\cdot)=\) mouvement brownien bilatéral),\dots Pour la ``suite'' \(X_n\) sont prouvés: Théorème 1: La loi des grands nombres, avec, quand \(B\) est de type 2, une vitesse exponentielle de convergence, si \(E|\varepsilon_n|^k\leq {k!\over 2} c^{k-2}\sigma^2\) \((k\geq 2)\). Théorème 2: Une loi faible pour \(B\) de type \(p\), \(1<p\leq 2\), ou de cotype \(q\), \(2\leq q<\infty\), et d'autres conditions. Théorème 3: La convergence limite centrale de \(\{X_n\}\) si \(\{\varepsilon_n\}\) la vérifie, avec la correspondance exacte entre les lois limites. Théorème 4: Analogue au précédent pour la loi du logarithme itéré. Trois corollaires sont aussi donnés et prouvés, deux concernent \(\int^T_0\xi_t d\mu_{[T]}\), \(\mu_n\) étant définie par une mesure bornée signée \(\mu\) sur \([0,1]\). Pour les peuves interviennent des références au livre de \textit{M. Ledoux} et \textit{M. Talagrand} [``Probability in Banach spaces. Isoperimetry and processes'' (1991; Zbl 0748.60004)].