The Riemann Hypothesis and gamma conditions (Q2367665)

Es sei \(L_ \sigma(\mathbb{R}^ +)\) für reelles \(\sigma\) and \(\mathbb{R}^ +=]0,\infty[\) die Menge aller komplexwertigen auf \(\mathbb{R}^ +\) Lebesgue- meßbaren Funktionen \(f\) mit \(\| f\|_ \sigma :=\int^ \infty_ 0 | f(x)| x^{\sigma-1} dx<\infty\). \(L\) sei der lineare Raum aller komplexwertigen Funktionen \(f\), die in der Form \(f(x)=\Phi(x)-\Phi(2x)+\Phi(3x)-+\cdots\) (\(x>0\)) mit der Laplacetransformation \(\Phi\) einer Funktion \(\chi_{[\alpha,\beta]}\varphi\) mit \(0<\alpha<\beta\), \(\varphi\in L_ 1(\mathbb{R}^ +)\) darstellbar sind. \(L\) ist ein Analogon zum Zornschen Raum von \textit{H. Bercovici} und \textit{C. Foiaş} [vgl. Isr. J. Math. 48, 57- 68 (1984; Zbl 0569.46011)]. Für \(\sigma>0\) sei \(L_ \sigma\) der \(L_ \sigma(\mathbb{R}^ +)\)-Abschluß von \(L\). Der Verf. zeigt, daß die Riemannsche Vermutung genau dann wahr ist, wenn für alle \(\lambda\), \(\sigma\) mit \(0<\lambda<{1\over 2}<\sigma<1\) die Bedingung \((e^{-x} x^{-\lambda})_{x>0} \in L_ \sigma\) gilt. Ferner konstruiert er Funktionen \(\psi_{\lambda,n}\) (\(\lambda>0\), \(n\in\mathbb{N}\)) aus \(L\) mit \(\psi_{\lambda,n}(x)\to e^{-x} x^{- \lambda}\) (\(n\to\infty\)) für alle \(\lambda>0\) und alle \(x>0\) und \[ \int^ \infty_ \rho |\psi_{\lambda,n}(x)=e^{-x} x^{- \lambda}| x^ \sigma dx\to 0 \qquad (n\to\infty) \] für alle \(\rho\), \(\lambda>0\) und alle reellen \(\sigma\).