Algebraic independence of the values of power series, Lambert series, and infinite products generated by linear recurrences (Q2388303)

Es sei \(\mathcal{A}:=(a_k)\in\mathbb{N}^{\mathbb{N}_0}\) eine \(a_{k+n}=c_1a_{k+n-1}+\dots +c_na_k\) \((k\in\mathbb{N}_0)\) genügende lineare Rekurrenz mit \(c_1,\dots ,c_n\in\mathbb{N}_0, c_n>0\) und Begleitpolynom \(\Phi(X):=X^n-c_1X^{n-1}-\dots -c_n\). \(\mathcal{A}\) sei keine geometrische Folge, es sei \(\Phi(\pm1)\neq0\) und kein Quotient zweier verschiedener Wurzeln von \(\Phi\) sei eine Einheitswurzel. Verf. untersucht im Nachgang zu seinen früheren Arbeiten [Acta Arith. 74, 177--190 (1996; Zbl 0876.11036) bzw. Osaka J. Math. 36, 203--227 (1999; Zbl 0946.11015)] die Frage, wann die Werte der in \(|z|<1\) konvergenten Reihen \(f(z):=\sum_{k\geq0} z^{a_k}\), \(g(z):=\sum_{k\geq0} z^{a_k}/(1-z^{a_k})\) bzw. des Produkts \(h(z):=\prod_{k\geq0} (1-z^{a_k})\) an paarweise verschiedenen Stellen \(\alpha_1,\dots ,\alpha_r\in\overline{\mathbb{Q}}^\times\) der Einheitskreisscheibe algebraisch unabhängig sind. Um das Hauptergebnis der vorliegenden Arbeit adäquat formulieren zu können, nennt man \(\alpha_1,\dots ,\alpha_r\) wie oben streng \(\mathcal{A}\)-abhängig, wenn es eine nichtleere Teilmenge \(\{i_1,\dots ,i_t\}\) von \(\{1,\dots ,r\}\), nicht sämtlich verschwindende \(\xi_1,\dots ,\xi_t\in\overline{\mathbb{Q}}\) und \(N\)-te Einheitswurzeln \(\zeta_1,\dots ,\zeta_t\) mit lauter gleichen Quotienten \(\alpha_{i_\tau}/\xi_\tau\) \((\tau=1,\dots ,t)\) gibt, so dass \(\sum_{\tau=1}^t \xi_\tau \zeta_\tau^{ma_k} =0\) für alle zu \(N\) teilerfremden \(m\in\mathbb{N}\) und für alle großen \(k\) gilt. Damit lautet das Hauptergebnis: Es sei \(\mathcal{A}\) wie oben, \(\alpha_1,\dots ,\alpha_r\) wie oben seien nicht streng \(\mathcal{A}\)-abhängig und \(f(\alpha_1),\dots ,f(\alpha_\rho)\) seien für ein \(\rho\leq r\) algebraisch unabhängig. Dann sind die Zahlen \(f(\alpha_1),\dots ,f(\alpha_\rho),g(\alpha_1),\dots ,g(\alpha_r),\) \(h(\alpha_1),\dots ,h(\alpha_r)\) algebraisch unabhängig. Der Beweis verwendet neben Ideen aus den beiden zitierten früheren Arbeiten des Verf. die Mahlersche Transzendenzmethode in der Weiterentwicklung von \textit{K. K. Kubota} [Math. Ann. 227, 9--50 (1977; Zbl 0359.10030)] bzw. \textit{K. Nishioka} [Mahler functions and transcendence, Lect. Notes Math. 1631, Berlin: Springer (1996; Zbl 0876.11034)].