Logarithm and dilogarithm (Q2418877)

Summary: Im nachfolgenden Beitrag erinnern die Autoren zunächst an die geometrische Deutung der Funktionalgleichung der klassischen Logarithmusfunktion in Termen der hyperbolischen Distanz zwischen zwei Punkten der hyperbolischen Ebene. Darauf aufbauend wird in Folge der Dilogarithmus eingeführt und dessen Werte als hyperbolische Volumina idealer hyperbolischer Tetraeder im hyperbolischen 3-Raum erkannt. Es zeigt sich dabei, dass die Funktionalgleichung des Dilogarithmus der Zerlegung gewisser hyperbolischer Körper in solche ideale hyperbolische Tetraeder entspricht. Im letzten Teil werden die bis dahin gewonnenen geometrischen Erkenntnisse zur Berechnung spezieller Werte der Dedekindschen Zetafunktion von Zahlkörpern mit Hilfe von Logarithmus und Dilogarithmus genutzt. Dies führt zu einer bis heute ungelösten Vermutung von D. Zagier zur Beschreibung der Werte Dedekindscher Zetafunktionen an den ganzzahligen Stellen.