Multiple integrals and linear forms in zeta-values (Q2479903)

Verff. definieren für \(n\geq 2\) Integrale über \(E_n=[0,1]^n\) vom Beukersschen Typ \[ B_n=\int_{E_n}\Phi(\underline{x})^{-(a_1+b_n-c_1)}\prod_{i=1}^n x_i^{a_i}(1-x_i)^{b_i}\,d\mu_B(\underline{x}) \] mit \(\Phi(\underline{x})= 1-(1-x_1\cdots x_{n-1})x_n\) und dem Maß \(d\mu_B(\underline{x})= (dx_1\cdots dx_n)/\Phi(\underline{x})\). Mittels einer geeigneten birationalen Abbildung von \(E_n\) auf sich wird bewiesen: Genügen die nichtnegativen ganzzahligen Parameter \(a_i,b_i\) bzw. \(c_1,\dots,c_{n-1}\) den Bedingungen \(a_i+c_{i+1}=a_{i+1}+c_i \) \((i=1,\dots,n-2)\), so ist 1) \(B_n\) gleich einem Integral vom Sorokinschen Typ (bei denen mit dem Maß \(d\mu_S(\underline{x})= (dx_1\cdots dx_n)/\prod_{j=2}^n(1-x_1\cdots x_j)\) gearbeitet wird), und 2) \(B_n\in\mathbb{Q}+\sum_{j=2}^n\mathbb{Q}\zeta(j)\) mit expliziten Koeffizienten. In der Tat hat \textit{F. Beukers} [Bull. Lond. Math. Soc. 11, 268--272 (1979; Zbl 0421.10023)] bei seinem Irrationalitätsbeweis für \(\zeta(3)\) Integrale vom Typ \(B_3\) verwendet, während Sorokin's Integrale [\textit{V. N. Sorokin}, Mosc. Univ. Math. Bull. 53, No. 3, 48--52 (1998); translation from Vestn. Mosk. Univ., Ser. I 1998, No. 3, 48--53 (1998; Zbl 1061.11501)] demselben Zweck dienten.