Eigenvalues of a natural operator of centro-affine and graph hypersurfaces (Q2488592)

In der ausgezeichnet geschriebenen Abhandlung gibt der Autor optimale Abschätzungen der Eigenwerte des natürlichen Operators \(K_{T\#}\) für lokal streng konvexe zentro-affine Hyperflächen und zugeordnete Graphen. Verschiedene Anwendungen und Beispiele zeigen, dass die Abschätzungen optimal sind; dabei ergeben sich interessante Zusammenhänge mit Arbeiten von B. Y. Chen, F. Dillen und L. Francken, sowie A. Li und U. Simon. Exemplarisch seien hier 2 wichtige Resultate für lokal streng konvexe zentro-affine Hyperflächen \(M\) in \(\mathbb{R}^{n+1}\) genannt, wobei für jede ganze Zahl \(k\in [2,n]\) eine Invariante \(\widehat\vartheta_k\) auf \(M\) gemäß B. Y. Chen definiert wird und \(K_{T\#}\) den Tchebychev-Operator bezeichnet: (1) Ist \(\widehat\vartheta_k\neq\varepsilon\) in einem Punkt \(p\in M\), dann ist jeder Eigenwert des Operators \(K_{T\#}\) in \(p\) größer als \((\frac{n-1}{n}) (\varepsilon-\widehat\vartheta_k(p))\). (2) Ist \(\widehat\vartheta_k= \varepsilon\) in \(p\), dann ist jeder Eigenwert von \(K_{T\#}\) in \(p\) größer oder gleich Null in \(p\), wobei \(\varepsilon=1\) oder \(\varepsilon=-1\) gilt, je nachdem \(M\) vom elliptischen oder hyperbolischen Typ ist.