Extreme copositive quadratic forms (Q2523896)

Eine reelle quadratische Form \(Q = Q(x_1,\ldots,x_n)\), heißt kopositiv, wenn \(Q(x_1,\ldots,x_n)\geq 0\) für \(x_1,\ldots,x_n\geq 0\). Sie heißt extrem kopositiv, wenn aus \(Q=Q_1+Q_2\) mit kopositiven Formen \(Q_1, Q_2\) folgt, daß \(Q_1 = aQ\), \(Q_2= (1-a)Q\) ist mit \(0\leq a\leq 1\). Sei \(Q = \sum q_{ij}x_ix_j\) mit \(q_{ij}= q_{ji}\). \(Q\) ist sicher kopositiv, wenn \(Q\in P+S\), wobei \(P\) die Menge der quadratischen Formen mit nichtnegativen Koeffizienten \(q_{ij}\) und \(S\) die Menge der positiv semidefiniten quadratischen Formen bezeichnet. Für \(n\leq 4\) ist nach \textit{P. H. Diananda} [Proc. Camb. Philos. Soc. 58, 17--25 (1962; Zbl 0108.04803)] jede kopositive Form in \(P+S\) enthalten, für \(n > 4\) aber nicht [\textit{M. Hall} jun. and \textit{M. Newman}, Proc. Camb. Philos. Soc. 59, 329--339 (1963; Zbl 0124.25302)]. Verf. beweist folgendes Hauptresult: Eine kopositive quadratische Form \(Q(x_1,\ldots,x_n)\) besitzt eine Nullstelle \(u_1,\ldots,u_n\geq 0\) mit \(u_i > 0\) genau dann, wenn \(Q-\varepsilon x_i^2\) für kein \(\varepsilon> 0\) kopositiv ist \((1\leq i\leq n)\). Daraus folgt unmittelbar: Eine extrem kopositive Form \(Q(x_1,\ldots,x_n)\), \(n\geq 2\), besitzt für jeden Index \(i\) \((1\leq i\leq n)\) eine Nullstelle \(u\) der genannten Art. Ferner zeigt Verf. für \(n\geq 3\): Ist \(Q_n=Q(x_1,\ldots,x_n)\) extrem kopositiv, so auch \(Q_{n+1}= Q(x_1,\ldots,x_{n-1}, x_n+x_{n+1})\).