Asymptotic investigations on the number of divisors of \(n\). (Q2525204)

Sei \(d(n)\) die Anzahl der Teiler von \(n\). Der Verf. leitet für fast alle natürlichen \(x\) (d. h. für alle \(x\) mit möglicher Ausnahme eine Folge der Dichte Null) asymptotische Formeln für \(\sum d(x+u)\) her, wobei über ''kurze'' Intervalle summiert wird. Das Hauptergebnis lautet: Sei \(h(x) \nearrow \infty\), \[ f(x) > \exp\{(2\log 2-1) \log\log x+h(x)(\log\log x)^{1/2}\}. \] Dann gilt für fast alle \(x\): \[ \sum_{1 \leq n \leq f(x)} d(x+n) \sim f(x)\log x. \] Das Ergebnis wird falsch, wenn \[ f(x) = \exp\{(2\log 2-1)\log\log x+c(\log\log x)^{1/2}\} \] gewählt wird. Ein ähnliches Ergebnis wird gezeigt, wenn \(d(n)\) durch \(r(n)\) (die Anzahl der Lösungen von \(n=u^2+v^2\)) ersetzt wird.