On divisor functions in Dirichlet series (Q2531331)

Es wird u. a. folgender Satz bewiesen: \(\rho\) und \(m = \prod_{\{p\}} p^{\alpha_p}\) (kanonische Zerlegung) seien natürlich, \(f(n)\) multiplikativ mit \(f(n) = O(n^{\lambda})\) für \(n\to\infty\). Ist dann \(\Re(s) > \lambda\rho + 1\), so gilt \[ \sum_{n=1}^\infty f(mn^\rho)n^{-s} = \prod_{\{p\}} \sum_{\nu=0}^\infty f\left(p^{\rho\nu+\alpha_p}\right) p^{-\nu s} \] mit \(\alpha_p = 0\) für \(p\nmid m\), \(\alpha_p\ne 0\) für \(p\mid m\), wo das unendliche Produkt über alle Primzahlen erstreckt ist. Speziell für Teilerfunktionen \(f(n) = \sigma_a(n)= \sum_{d\mid n} d^a\), werden in der Arbeit folgende Resultate hergeleitet: \[ \sum_{n=1}^\infty \frac{\sigma_a(mn)}{n^s} = \zeta(s)\zeta(s-a) \sum_{d\mid n} d^{n-s} \mu(d) \sigma_a\left(\frac{m}{d}\right), \quad \Re(s-1)>\max\{0, \Re(a)\}, \] \[ \sum_{n=1}^\infty \frac{\sigma_a(mn)}{n^s} = \frac{\zeta(s)\zeta(s-a)\zeta(s-2a)}{\zeta(2s-2a)}\sum_{d\mid n} \mu(d) \sigma_a\left(\frac{m}{d}\right) \frac{\sigma_a(d)}{\sigma_{s-a}(d)}, \quad \Re(s-1) > \max\{0, \Re(2a)\}. \] Hierbei ist \(\mu(d)\) die Möbiussche \(\mu\)-Funktion. Man findet außerdem für \(1\le k,l,n\equiv 0(1)\) und \((k,l)=1\) das zahlentheoretische Ergebnis: \[ n^{-a} \sigma_a(kn)\sigma_a(ln) = \sum_{d\mid n} d^{-a} \sigma_a(kld^2). \]