Zum Anwendungsbereich einiger Iterationsverfahren (Q2540160)

Es wird gezeigt, daß ein sehr umfassender Fixpunktsatz für ,,kontrahierende Abbildungen'' fast wie gewohnt formuliert und hergeleitet werden kann innerhalb der hier eingeführten ,,quasi\-metrischen Limes-Räume'' \(\mathfrak N, (\mathfrak H, +, \leq, \mathbb K), \rho)\). Dabei ist \((\mathfrak H, +, \leq, \mathbb K)\) eine ,,quasimetrische Limes-Struktur'', d.h.: \(\mathfrak H\neq 0\); \(+\) zweistellige Operation; \(\leq\) zweistellige Relation; \[ \mathbb K\subset \mathfrak H^{\mathbb N}; \mathfrak N:= \{\alpha: \alpha\in\mathfrak H,\;\xi_n =\alpha \;(n\in\mathbb N) \Rightarrow \{\xi_n\}\in\mathbb K\}\neq 0; \] \[ \xi_n\in\mathfrak N\;(n\in\mathbb N) \Rightarrow \{\xi_n\}\in\mathbb K; x\in\mathbb K \wedge y\in\mathbb K \Rightarrow x+y\in\mathbb K;\;x\in \mathbb K \wedge y\leq x \Rightarrow y\in\mathbb K. \] Ferner ist \(\rho: \mathfrak N\times\mathfrak N\to\mathfrak H\) eine Abbildung mit \(\rho(a,a)\in\mathfrak N\), \(\rho(b,a) = \rho(a,b)\), \(\rho(a,c)\leq \rho(a,b) + \rho(b,c)\). Daran anschließend wird ein umfassender Satz über das ,,vereinfachte Newton-Verfahren'' fast wie gewohnt hergeleitet und bewiesen innerhalb quasinormierter Limes-Gruppen''. Dies sind Gruppen, die zugleich quasimetrische Limes-Räume sind, jedoch mit einer Quasimetrik \(\rho\), die zweiseitig invariant ist. Derartige Sätze dürften u.a. auch für direkte Anwendungen auf Prozesse in Computern von Interesse sein.