Résolution en nombres entiers de l'équation diophantienne \(n(n+1)=2n'(n'+1)\) (Q2544235)

Il s'agit d'une voie nouvelle pour atteindre un résultat déjà connu, celui d'établir: les solutions \((n, n')\) de l'équation \[ n(n + 1) = 2n' (n' + 1). \tag{1} \] On établit d'abord que les quatre nombres \(n\), \(n+1\), \(n'\) et \(n'+1\) sont nécessairement composés et qu'aucun d'entre eux ne peut en diviser un autre, sauf dans le cas de \((n=3,\ n' =2)\) (2). Posant alors \(n' =ab\), \(n'+1 = \alpha\beta\), on définit des conditions que doivent remplir \(a, b, \alpha, \beta\) pour que \((n,n')\) soit une solution de (1) dans l'une ou l'autre des deux seules éventualités possibles \[ E_1: [n=2a\alpha,\ n+1 =b\beta]\quad\text{et}\quad E_2: [n=a\alpha,\ n+1 =2b\beta]. \] On établit ensuite les formules de récurrence, ici appelées \(F_1, F_2\), convenant à \(E_1\) et \(E_2\) pour déduire d'une solution \((n,n')\) et en particulier de la solution \((3,2)\) une double infinité d'autres. On montre enfin qu'aucune solution de (1) ne peut exister en dehors de celles qui sont ainsi déduites de \((3,2)\). Pour cela, on part de l'existence supposée d'une solution \((n = n')\) de (1) et on lui applique à rebours les formules de récurrence \(F_1, F_2\) en considèrant, selon le cas, les diviseurs impairs \(a\) et \(\alpha\) de \(n\) \((E_1)\) ou \(b\) et \(\beta\) de \(n+1\) \((E_2)\). De deux choses l'une, nouvelle solution \((n_1 <n;\ n'_1)\) dans laquelle \(n_1 = (a -1)/2\) si \(a\) est impair et \(n_1 = (b -1)/2\) si \(a\) est pair, ou l'on aboutit à une contradiction avec des résultats déjà connus et nécesaires, en particulier la condition de non-primalité énoncée au deuxième alinà ci-dessus. Il n'est pas nécessaire d'identifier \(n'_1\) et on peut opère sur \((n_1,n'_1)\) comme on l'a fait sur \((n,n')\). On construit alors facilement par ce procédé, conduisant à une double descente infinie, un ``arbre'' de décisions dont les branches aboutissent soit à des contradictions, soit éventuellement au seul nombre premier admissible, \(3\). Dès lors, \(n\) figure nécessairement dans un couple \((n, n'')\) déduit de \((3,2)\) par \(F_1, F_2\). Or, si \(n\) figure dans une solution \((n, n')\) de (1), \(n'\) ne peut avoir qu'une et une seule, valeur. On a donc \((n, n' ) = (n, n'')\).