Some global theorems on non-complete surfaces (Q2562383)

Sei \(M\) eine zweidimensionale Fläche mit \(k\) Endpunkten, d.h. diffeomorph zu einer kompakten Fläche, aus der \(k\) Punkte herausgenommen worden sind. \(M\) heißt parabolisch, wenn es keine nega\-tive subharmonische Funktion auf \(M\) gibt. Der Verf. beweist, daß eine nicht positiv gekrümmte parabolische Fläche im \(R^3\), die endliches Volumen und nicht mehr als drei Endpunkte besitzt, in einer Ebene liegen muß. Daraus folgt, daß eine vollständige nicht positiv gekrümmte Fläche, die endliches Volumen und nicht mehr als drei Endpunkte besitzt, nicht in den \(R^3\) isometrisch immersiert werden kann. Ferner wird für parabolisches \(M\), das in den Endpunkten gewisse Endlichkeitsbedingungen erfüllt, die Totalkrümmung durch \(2\pi\chi\) nach unten abgeschätzt, wobei \(\chi\) die Euler-Charakteristik von \(M\) ist. Im letzten Abschnitt wird für streng positiv gekrümmtes \(M\), das in den Endpunkten gewisse Endlichkeitsbedingungen erfüllt, die Beschränktheit gezeigt. Für kompakte Hyperflächen von \(R^{n+1}\) mit \(n\geq 3\), deren Schnittkrümmung zwischen den positiven Konstanten \(K_1\) und \(K_2\) liegt, wird bewiesen, daß der äußere Durchmesser nicht größer als \(2(K_2/K_1^2)^{1/2}\) und der innere Durchmesser nicht kleiner als \(2(K_1/K_2^2)^{1/2}\) ist.