Die Eulersche Summationsformel. (Q2577923)

Verf. führt den von \textit{E. Lindelöf} (Le calcul des résidus et ses applications à la théorie des fonctions. Paris 1905; F. d. M. 36, 468) gegebenen, auf der Residuenrechnung beruhenden Beweis der Eulerschen Summationsformel aus. Er geht von dem über ein achsenparalleles, eine Strecke der reellen Achse im Innern enthaltendes Rechteck erstreckten Konturintegral \[ \frac{1}{2\pi i} \int \pi \text{ cotang } \pi z \cdot f(z)\, dz, \] der Benutzung der Taylorentwicklung für \(f(z)\) und der zum cotang gehörenden Entwicklung von \[ (e^z - 1)^{-1} = z^{-1} - \frac 12 - \sum_{\nu = 1}^\infty (-1)^{\nu -1} \frac{B_\nu}{2\nu !} \, z^{2\nu - 1} \] mit den Bernoullischen Zahlen \(B_\nu\) aus und benötigt, da man die imaginäre Dimension des Rechtecks ins Unendliche gehen läßt, Voraussetzungen über das asymptotische Verhalten von \(f(z)\) mit \(y \to \infty\). Anwendung der Eulerschen Formel auf den Zusammenhang zwischen stetigen und unstetigen Renten.