Das Differenzenverfahren zur Lösung von Differentialgleichungen der nichtstationären Wärmeleitung, Diffusion und Impulsausbreitung. (Q2577987)

Verf. ersetzt die Wärmeleitungsgleichung in der üblichen Weise durch die Differenzengleichung \[ \varDelta_t \vartheta = a \frac{\varDelta t}{(\varDelta x)^2} \, \varDelta_x^2 \vartheta. \] Wählt man darin \(t\) so, daß \(a \dfrac{\varDelta t}{(\varDelta x)^2}= \dfrac 12\) ist, so lautet diese Gleichung \[ \vartheta_{n, k+1} = \tfrac 12 (\vartheta_{n+1, k} + \vartheta_{n-1, k}). \] Hat man also den die Temperatur darstellenden Geradenzug zur Zeit \(t\), so erhält man den für die Zeit \(t + \varDelta t\) einfach durch Mittelung, was zeichnerisch auf ein ``Eckenabschneiden'' herauskommt. Das gleiche Verfahren kann man bei Zylinder- und räumlichen Polarkoordinaten anwenden, wenn man \(\vartheta\) als Funktion von ln \(r\) bzw. -- \(1/r\) aufträgt. Im ersten Fall erhält man allerdings so nur eine genäherte Lösung der Differenzengleichung. Durch Wahl passender Funktionsskalen für die Ortskoordinate läßt sich das Verfahren verallgemeinern, z. B. auf Stäbe veränderlichen Querschnitts auch bei örtlich veränderlichen Stoffwerten übertragen. Die Gleichung für die Verzerrungsfunktion wird abgeleitet, die Verallgemeinerung des Verfahrens auf den Fall temperaturabhängiger Stoffwerte erläutert und die Berücksichtigung der Randbedingungen erörtert.