The space relation among five points in elliptic and hyperbolic geometry. (Q2578204)

Die Beziehung zwischen den zehn gegenseitigen Entfernungen \(r_{ik}\) von fünf beliebigen Punkten \(P_1\), \(P_2\), \(P_3\), \(P_4\), \(P_5\) des euklidischen dreidimensionalen Raumes hat Cayley 1841 in der Form der verschwindenden Determinante sechster Ordnung \[ \left|\,\begin{matrix}\l&\;\;\,\l&\;\;\,\l&\;\;\,\l&\;\;\,\l&\;\;\,\l\\ 0&r_{12}^2&r_{13}^2&r_{14}^2&r_{15}^2&1\\ r_{21}^2&0&r_{23}^2&r_{24}^2&r_{25}^2&1\\ \;.\;&.&\;.\;&\;.\;&\;.\;&.\\ r_{51}^2&r_{52}^2&r_{53}^2&r_{54}^2&0&1\\ 1&1&1&1&1&0\\ \end{matrix}\,\right| = 0 \] ausgedrückt. Verf. entwickelt die entsprechende Beziehung für einen (elliptischen oder hyperbolischen) nichteuklidischen Raum mit Hilfe der Punktrechnung. Sind \(P_1, P_2,\ldots, P_5\) irgend fünf Punkte eines dreidimensionalen projektiven Raumes, von denen im allgemeinen keine vier in einer Ebene liegen, so besteht zwischen ihnen eine Gleichung \ (1) \(\alpha P_1+\beta P_2+\gamma P_3+\delta P_4+\varepsilon P_5\), in der \(\alpha \), \(\beta \), \(\gamma \), \(\delta \), \(\varepsilon \) reine Zahlen sind. Dieser projektiven Mannigfaltigkeit wird im Cayleyschen Sinn eine Metrik auferlegt durch eine elliptische oder hyperbolische Polarität \(\varOmega \), so daß \(\varOmega \,P\) die Polarebene von \(P\) und \(\varOmega \pi\) der Pol der Ebene \(\pi\) ist. Wird der Krümmungs\-radius des Raumes als Einheit benutzt, so ist die Entfernung \(r = PQ\) der Punkte \(P\) und \(Q\) definiert durch \[ \text{Cos\,}r = \frac {P\varOmega Q}{\sqrt{P\varOmega P \cdot Q\varOmega Q}}, \] wo das Zeichen Cos entweder cos oder cosh bedeutet, je nachdem \(\varOmega \) eine elliptische oder eine hyperbolische Polarität ist. Wendet man den Operator \(\varOmega \) auf (1) an, so ergeben sich fünf homogene lineare Gleichungen für \(\alpha \), \(\beta \), \(\gamma \), \(\delta \), \(\varepsilon \), deren Koeffizienten\-determinante verschwinden muß. Man erhält so die gesuchte Beziehung in Gestalt der Gleichung \[ \left|\,\begin{matrix}\l&\;\;\,\l&\;\;\,\l&\;\;\,\l&\;\;\,\l\\ 1&c_{12}&c_{13}&c_{14}&c_{15}\\ c_{21}&1&c_{23}&c_{24}&c_{25}\\ .&\;.&\;.&\;.&\;.\\ c_{51}&c_{52}&c_{53}&c_{54}&\,1\\ \end{matrix}\,\right| = 0, \] in der \(c_{ik} =\) Cos \(r_{ik}\) ist. Die Cayleysche Gleichung für den euklidischen Fall läßt sich, wie Verf. ausführt, als Grenzfall ableiten. Verf. wendet zum Schluß die allgemeine Formel auf den Sonderfall der Entfernungen eines Punktes von den Ecken eines regelmäßigen Vierflachs an und weist auf die der allgemeinen Formel entsprechenden Beziehungen für vier Punkte einer Ebene und für drei Punkte einer Gerade hin.