Sulla condizione necessaria e sufficiente affinchè un triangolo sia acutangolo, rettangolo o ottusangolo. (Q2578231)

Verf. hat früher (Rassegna Mat. Fis., Roma 5 (1925); F. d. M. 51, 467 (JFM 51.0467.*)) verschiedene Formen für die notwendigen und hinreichenden Bedingungen dafür aufgestellt, daß ein Dreieck spitzwinklig, rechtwinklig oder stumpfwinklig sei. Er teilt einige dieser Formen hier wieder mit und gibt für die erste von ihnen zwei Beweise, den einen mit und den anderen ohne Trigonometrie. Die genannten Bedingungen sind: Ein Dreieck ist spitzwinklig, rechtwinklig oder stumpfwinklig, je nachdem \[ p \gtreqqless 2R + r, \;\;\sin ^2 \alpha + \sin ^2\beta + \sin ^2\gamma\gtreqqless 2,\;\;a^2 + b^2 + c^2 \gtreqqless 8R^2,\;\;R\gtreqqless 3\,\overline {OG}, \] \((p - r_a)\,(p - r_b)\,(p - r_c)\gtreqqless 0\) ist. Hierin bedeuten: \(a\), \(b\), \(c\) die Seiten, \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\) die Winkel, \(R\) den Umkreishalbmesser, \(r\) den Inkreishalbmesser, \(r_a\), \(r_b\), \(r_c\) die Ankreishalbmesser, \(p\) die halbe Summe der Seiten, \(O\) den Umkreismittelpunkt und \(G\) den Schwerpunkt des Dreiecks (vgl. vorstehende Besprechung).