Proprietà dell'iperbole. (Q2578311)

\textit{E. Piccioli} hat (Boll. Mat., Genova, (4) 2 (1941), 89-90; F. d. M. 67, 573 (JFM 67.0573.*)) folgende Eigenschaft der Hyperbel bewiesen: Verbindet man einen beliebigen veränderlichen Punkt \(P\) einer Hyperbel mit dem Mittelpunkt \(O\) und den Brennpunkten \(F\), \(F'\), so berühren die Inkreise der Dreiecke \(POF\), \(POF'\) die Gerade \(PO\) in zwei Punkten, deren Entfernung konstant gleich der halben Fokalachse \(AO\) der Hyperbel bleibt, wenn \(P\) die Hyperbel durchläuft. Verf. zeigt, daß dieser Satz einen Sonderfall des allgemeineren Satzes bildet, den er selbst früher (Boll. Mat., Firenze, (2) 10 (1931), 172-174; JFM 57.0775.*) veröffentlicht hat: Ist \(ABC\) ein Dreieck, sind \(K\), \(K'\) die Berührungspunkte des Inkreises und des zu \(BC\) gehörigen Ankreises mit \(BC\), ist \(AX\) eine beliebige Eckenlinie (\(X\) ihr Schnittpunkt mit \(BC\)), sind \(\alpha \), \(\beta \) die Berührungspunkte der Inkreise der Dreiecke \(ABX\), \(ACX\) und \(\alpha '\), \(\beta '\) die Berührungs\-punkte der zu \(AX\) gehörigen Ankreise dieser Dreiecke mit \(AX\), sind \(\alpha _1\), \(\beta _1\) die Berührungs\-punkte der zu \(BX\), \(CX\) gehörigen Ankreise und \(\alpha _2\), \(\beta _2\) die Berührungspunkte der zu \(AB\), \(AC\) gehörigen Ankreise mit der Verlängerung von \(AX\), so ist \(\alpha \beta = \alpha '\beta ' =KX\), \(\alpha _1\beta _1= \alpha _2\beta _2 =K'X\). Wendet man diesen Satz auf die Hyperbel an, so folgt: Verbindet man einen Punkt \(P\) einer Hyperbel mit den Brennpunkten \(F\), \(F'\) und mit einem beliebigen Punkt \(X\) der Strecke \(FF'\), und berühren die Inkreise der Dreiecke \(PXF\), \(PXF'\) die Gerade \(PX\) in zwei Punkten \(\alpha \), \(\beta \), so ist deren Entfernung konstant gleich der Entfernung des Scheitels des von \(P\) durchlaufenen Hyperbelzweiges von \(X\). Dasselbe gilt von den Berührungspunkten der zu \(PX\) gehörigen Ankreise der genannten Dreiecke mit \(PX\). Fällt \(X\) mit dem Mittelpunkt \(O\) zusammen, so folgt der Satz von Piccioli.